616 Kapitel 21, § 1. 



Die gewöhnlichen Zahlen bilden also einen Specialfall des allgemeinen 

 Zahlensystems, mit der Beschränkung, dass bei ihnen x^^ x^, 2/i; V^ 

 reell sind. Das hier betrachtete System (e^, e^) besitzt alle von 'uns 

 verlangten Eigenschaften. 



GescMcLte ^^^ Begriff des allgemeinen Zahlensystems hat sich geschichtlich 



''"j4;e!;!r durch zweckmässige Verallgemeinerungen und Fallenlassen unwesent- 

 licher Beschränkungen aus dem Systeme der gewöhnlichen Zahlen 

 a-\- ^i gebildet. Seine Geschichte geht also zurück bis auf die Ein- 

 führung der Imaginären in die Mathematih 

 imagmaie £)-g Auflösung der algebraischen Gleichungen zweiten Grades 



Algebra, ffjj^j.^^ ^^^^^^ ^^^ imaginäre Zahlen. Die Ausdrücke „reell" und „ima- 

 ginär" sind allerdings erst von Descartes 1637 eingeführt wJrden. 

 Man wusste aber schon im 16. Jahrhundert, dass jede algebraische 

 Gleichung zweiten, dritten und vierten Grades reelle oder imaginäre 

 Wurzeln besitzt. Man hat seitdem die imaginären Zahlen vielfach in 

 der Analysis verwendet. So zeigte namentlich Euler 1746 ihren 

 Nutzen bei vielen Rechnungen. 

 ^"^n^™ -^uch in die Geometrie wurden die Imaginären eingeführt. Sie 



Geometrie, finden sich jedenfalls bei vielen Geometern des vorigen Jahrhunderts, 

 so z. B. bei Monge 1784 in der Theorie der Minimalflächen und bei 

 Lagrange 1779 im Problem der conformen Abbildung. Lambert 

 spricht 1766 sogar über die Geometrie auf einer imaginären Kugel*). 

 SLwm' Gauss gab nach früheren Beweisversuchen von d'Alembert 



Algebra. (1746) ^^ ^ :^^ j^j^^^ -^^gg .^^ ^^.^^^ Disscrtation den ersten strengen 

 Beweis für den Fuudamentalsatz der Algebra, dass jede algebraische 

 Gleichung Wurzeln a + ßi besitzt, und benutzte in dieser Arbeit die 

 Abbudung später so berühmt gewordene Abbildung der complexen Zahlen x -{- tji 

 zaMeHn ^^^^^^ ^«'^ -P^^^^ der Ebene mit den cartesischen Coordinaten x, y. Wenn 

 der Ebene, sich daher dicse Abbildung nicht bei früheren Autoren nachweisen 

 lässt, so gehört sie Gauss und nicht Argand, wie namentlich Hanke 1 

 in seiner Theorie der complexen Zahlensysteme (1867) 'und nach ihm 

 so viele andere behauptet haben. Es haben erst nach Gauss Argand 

 (1806), Fran^ais, Servois, Mourey (1828), Warren (1828) u. A. 

 diese Abbildung im Einzelnen untersucht und Gauss selbst kam 1831 

 ausführlicher darauf zurück, machte aber damals ausdrücklich darauf 



*) Kürzlich lenkte Herr Stäckel gesprächsweise die Aufmerksamkeit auf 

 Lambert's höchst merkwürdige Untersuchungen über das Parallelenaxiom. Lam- 

 bert spricht unter anderem über die Winkelsumme im Dreieck auf der imagi- 

 aären Kugel. 



