Begriff und ältere Geschiclite der Zahlensysteme. • 617 



aufmerksam, dass er die grundlegenden Ideen schon 1799 in seiner 

 Dissertation gegeben habe. Ferner vervollständigte Gauss unter an- 

 derem die von Lagrange gegebene Lösung des Problems der comformen 

 Abbildung. 



Eine neue Epoche für die Theorie der complexen Zahlen hebt J^'^**^^**^°^ 



erst mit Cauchy's Untersuchungen über die Integrale mit imaginären ,'"®^^,°'\ ,^'^ 



*' ö o o der Zahlen- 



Grenzen seit 1821 sowie über imaginäre Potenzreihen an. Diese Unter- ^^^"''• 



suchungen sowie Abel's Untersuchungen über Potenzreihen (1826) 

 führten zu dem Begriff des Convergenzbereiches und lieferten über- 

 haupt die Grundlage für die jetzige Theorie der analytischen Func- 

 tionen. Ganz besonders trugen Abel's Umkehrung der von Legendre 

 betrachteten elliptischen Integrale und sein Nachweis der doppelten 

 Periodicität dieser inversen Functionen zur Entwickelung und Aus- 

 breitung dieser Lehre bei*). 



Darauf baute sich alsdann Riemann's grosse Theorie der mehr- 

 deutigen Functionen und ihrer Darstellung auf mehrblättrigen Flächen 

 auf. Andererseits vervollständigte Weierstrass durch rein analytische 

 Betrachtungen die Theorien Cauchy's, Abel's und Riemann's in 

 wesentlichen Punkten. Hier können wir natürlich nicht auf die vielen 

 wichtigen Beiträge eingehen, die von Zeitgenossen und Späteren 

 zu der grossen Theorie der analytischen Functionen hinzugefügt 

 wurden. 



Was die Imaginären in der Geometrie betrifft, so ist zunächst cioomc- 



'-' ' triacho Deu- 



Poncelet's Einführung der Imaginären in" die proiective Geometrie t^"" '^"r 



"^ • _ ° . Imaginären. 



(1822) zu nennen, wenn gleich Cauchy's Einwände dagegen formell 

 berechtigt waren. Von fundamentaler Bedeutung war seine Ent- 

 deckung der imaginären Kreispunkte in der Ebene, die später im 

 Räume zum imaginären Kugelkreis führte. 



Durch Plücker's aus den Jahren 1830 — 40 herrührende Auf- 

 fassung der Geometrie als eines (teilweis unvollkommenen) Bildes 

 einer rein analytischen Wissenschaft wurden alle Einwände gegen die 

 Berechtigung der Anwendung der Imaginären zum Schweigen ge- 

 bracht. V. Staudt gab 1856 eine berühmte Deutung der Imaginären 

 in der Geometrie, die vom Coordinatensystem unabhängig ist. 



Unter denjenigen, welche die Imaginären für die Geometrie be- 



*) Kurze Andeutungen in Gauss' Arbeiten um 1800 herum machen es un- 

 zweifelhaft, dass Gauss sich schon zu dieser Zeit mit der Theorie der analy- 

 tischen Functionen beschäftigt hatte. 



