618 • Kapitel 21, § 1, 2. 



sonders nutzbringend verwerteten, nennen wir noch Bellavitis, sowie 

 Chasles, Möbius, Laguerre und Darboux*). 



Jehreruug Verschiedene Rücksichten drängten zu Verallgemeinerungen des Be- 



comp'iexou ö'^*/^es der complexen Zahlen. Einmal ist die Verallgemeinerung der 

 Zahlen, geometrischen Deutung der Imaginären in der Ebene auf den Raum 

 u. s. w. überaus naheliegend, sodass sich' die schon von Gauss 1831 

 aufgeworfene Frage erhebt, „warum die Relationen zwischen Dingen, 

 die eine Mannigfaltigkeit von mehr als zwei Dimensionen darbieten, 

 nicht noch andere in der allgemeinen Arithmetik zulässige Arten von 

 Grössen liefern können"**), eine Frage, die neuerdings vielfach be- 

 sprochen wurde. Ferner vermag die Benutzung höherer Zahlensysteme 

 umständliche Formeln zu vereinfachen und schliesslich hat man, wie 

 kürzlich noch Dedekind betont hat, auch stillschweigend häufig von 

 höheren Zahlen Gebrauch gemacht, wenn man im Verlauf von Rech- 

 nungen gewisse Symbole einführte und mit diesen operierte. 



Der erste, der zu einem wirklich neuen Zahlensystem gelangte, 

 das- zugleich neben dem gewöhnlichen complexen System das in meh- 

 reren Hinsichten wichtigste Zahlensystem ist, und das interessante 

 ^^iuitcr" ' ^^^^^^^"°g®^ zuliess, war Hamilton, der 1843 das System der aus 

 uionou. vier Einheiten bestehenden Qiiaternionen aufstellte. Alsdann hatGrass- 

 ^^gyg^^^'^'^niann 1844 gewisse complexe Zahlensysteme betrachtet, aber in etwas 

 anderer Form: In seinen Ausdehnungslehren von 1844 und 1862 be- 

 trachtet er zwar Zahlen von der Form x^e^-\- x^e^-\ \- x^e», nimmt 



auch für die Multiplication das distributive Gesetz an, setzt aber nicht 

 voraus, dass die Producte eie^ wieder dem System angehören. Sie 

 stellen vielmehr neue Zahlen dar, für die wieder neue Productresceln 

 gelten u. s. w. Andererseits schreibt er der Multiplication nur gewisse 

 specielle Gesetze vor. Es ist hier nicht der Ort, auf die Deutungen 

 der Grassmann'schen Systeme einzugehen, wir haben es hier viel- 

 mehr nur mit ihrer formalen Seite zu thun und müssen da bemerken, 

 dass Grassmann den allgemeinen modernen Begriff eines Zahlensystems 

 nicht besitzt. 



Englische Mathematiker, wie Cayley und Sylvester, haben sich 

 öfters mit der Aufstellung specieller Zahlensysteme beschäftigt. Aus- 



*) Im Jahre 1869 veröffentlichte Lie in der Gesells. d. Wiss. zu Chiistiania 

 eine andere Interpretation der Imaginären, die den Ausgangspunkt für seine 

 Untersuchungen über Berührungstransformationen , Differentialgleichungen und 

 Transformationsgruppen bildete. 



**) Gauss' Werke Bd. II, S. 178. 



