Auffassung der Zahlensysteme als Gruppen U.Folgerungen aus d Auffassung. 619 



drücklich wird der allgemeine Begrifft eines geschlossenen complexen ^^^^^^^^^^^so- 

 ZaJilensystcms, eines solchen also, in dem die Producte immer wieder """"^.^l^^^^ 

 dem System angehören, wohl erst durch Hankel 1867 in seinem 

 schon genannten Werke definiert." Er nimmt übrigens das Bestehen 

 des associativen Gesetzes der Multiplication nicht von vornherein an, 

 Sondern verlangt nur das Bestehen des distributiven Gesetzes, indem 

 er sich die Producte 6,6^. in beliebiger Weise als lineare homogene 

 Functionen der Einheiten Cj . . e„ definiert denkt. Hankel giebt viele 

 geschichtliche Nachweise, sie sind aber nicht immer zutreffend. 



Das associative Gesetz der Multiplication tritt nun in der Folge- ^^^^^°^y^^^ 

 zeit immer deutlicher hervor und zwar hat dies seinen Grund in der 

 ßeziehuno;, in die man die complexen Zahlen zu den linearen Trans- „Z'^'^'?'^® 

 formationen brachte. Dies wollen wir im nächsten Paragraphen er- 

 läutern und alsdann auch geschichtlich weiter verfolgen. 



§ 2. Auffassung der Zahlensysteme als Gruppen und Folgerungen 

 aus dieser Auffassung. 



Wir bemerken, dass die Forderung 



X = xy 



in unserem in § 1 definierten Systeme (e^ . . ^„) äquivalent ist mit den 

 n in x^. . Xji und y^ . . «/„ bilinearen Gleichungen : 



n 



(6) Xs =^^yii,Xiyk (s = 1, 2 . . w). 



1 



Fassen wir hierin x^..x,i als Veränderliche, y^ . . y>i als Parameter, 

 x^ . . Xn als neue Veränderliche auf, so stellen diese n Gleichungen 

 eine lineare homogene Transformation der n Veränderlichen x, . . Xn in Linoaro 



•^ ... homogeuo 



die n Veränderlichen x^' . . x» dar. Jede Multiplication kann also als Transform. 

 eine lineare homogene Transformation aufgefasst werden. 



Wir lassen es dahingestellt, wer zuerst ausdrücklich bemerkt hat, 

 dass in dieser Weise im gewöhnlich complexen System (1, i) jede 

 Multiplication mit einer Zahl als eine Ähnlichkeitstransformation der 

 ganzen Ebene aufgefasst werden kann, wenn wir auch vermuten, dass 

 diese äusserst wichtige Auffassung schon bei Bellavitis vorkommt. 

 Die entsprechende Auffassung der Multiplicationen in einem Zahlen- 

 system (e^. . e„) als Transformationen tritt in den Arbeiten von Cayley, 

 Laguerre, Clifford, Sylvester, Frobenius und Anderen immer 

 mehr in den Vordergrund. 



