Das Zableu-, 

 System als 



620 Kapitel 21, § 2. 



* Die vorausgesetzte Eigenscliaft der Associativität der Multiplica- 

 tion führt nun auch zu einer besonderen Eigenschaft jener Schar von 

 linearen homogenen Transformationen, die mit einem Zahlensystem 

 (e^ . . Cn) verknüpft sind. Jene Schar ist nämlich eine Gruppe. 

 Gruppe. Denn wenn man zuerst die allgemeine Zahl x mit y, das Ergeh-" 



nis dann mit y multipliciert, also setzt 



x = xy, x"=x'y', 

 so ist das Endergebnis 



x"^ixy)y'=x{yy'), 



also dasselbe, als ob x direct mit der Zahl multiplicirt worden wäre, 

 die das Product yy darstellt. Also: die successive Ausführung der 

 linearen Transformation 



(6) ^^ = ^ ^ ViksOCiyk (s = 1, 2 . . m) 



1 



mit den Parametern y^. .yn und der linearen Transformation 



n 



mit den Parametern y^. . yü ist äquivalent mit der directen Ausführung 

 der linearen Transformation 



xl' = ^ ^ yiu Xi yk" (t=l, 2 ..n) 



1 



mit den Parametern y^' . . y»", die definiert sind durch die Formeln : 



n 



(7) 2//'= 5/ ^YasViVh (s = 1, 2 ..n). 



1 

 Die linearen homogenen Transformationen (6) bilden also in der That 

 eine Gruppe. Diese Gruppe hat nun eine besondere Eigenschaft: 



Die Parameter yl' . . y^ der ersetzenden Transformation drüchen sich 

 durch die Parameter y^. . y», yt - • yn der beiden ursprünglichen Trans- 

 formationen vermöge (7) genau so aus, wie die neuen Veränderlichen 

 x^ . . Xn durch die ursprünglichen Veränderlichen x^. . Xn und die Para- 

 meter y-^ . . y^ vermöge (6). 



Diese Bemerkung ist in der Folge für uns von besonderer Be- 

 deutung. 



Der erste, der die Zahlensysteme ausdrücklich als Gruppen auf- 

 fasste, war Poincare*). Er deutete darüber 1884 ein Theorem an, 

 das wir so formulieren wollen: 



*) Sur les nombres complexes. Comptes Rendus T. 99 (1884), S. 740—742. 



