Auffassung der Zahlensysteme als Gruppen u. Folgerungen aus d. Auffassung. 621 



Theorem 38: Zu jedem Zahlensystem gehört eine einfach '^,^1'^'''^^^'^ 



'' u o I Theorem. 



transitive Gruppe von linearen homogenen Transformationen, 

 in deren endlichen Gleichungen» die Parameter linear und 

 homogen auftreten, und umgekehrt gehört zu jeder derartigen 

 Gruppe ein Zahlensystem. 



Von diesem Theorem wenden wir bis auf weiteres nur die erste, 

 soeben bewiesene Hälfte an. Die zweite Hälfte beweisen wir weiter 

 unten. 



Dieses Theorem, das übrigens von Poincare weder ganz präcis 

 gefasst*), noch von ihm bewiesen wurde, begründete einen grossen 

 Fortschritt in der Theorie der complexen Zahlen. Denn nun gingen 

 ausf der Lie'schen Gruppentheorie unmittelbar eine Reihe von Sätzen 

 über complexe Zahlen hervor. Im Folgenden geben wir einige dieser 

 Sätze mit selbständiger Begründung **). 



¥ 



Wir haben gesehen, dass die Gleichungen (6), wenn y^. .y^ ^^^^^l^^l^^^X 

 Parameter betrachtet werden, eine lineare homogene Gruppe mit der Qj^^"g,j. 

 oben ausgesprochenen besonderen Eigenschaft darstellen. Da sie gleich t'-e^rie. 

 viele Veränderliche x^^. . Xn wie Parameter y^. . yn enthält und die 

 Determinante ^^ des § 1 nicht identisch Null ist, so sind die Glei- 

 chungen (6) nach yi-.yn auflösbar, sodass sie wirklich eine einfach Einfach 

 transitive Gruppe bilden. (Vgl. § 2 des 17. Kap.) ciruppe. 



Die Gruppe enthält die identische Transformation, denn für y =^ s 

 oder also 



2/i =^ ^1 j y^ ^^^ ^21 ' • yn = ^71 , 



wobei Si . . £n die in § 1 gefundenen gewöhnlichen Zahlen bedeuten, 

 also s den Modul des Systems vorstellt, giebt x' = xy die identische 

 Transformation x = x. Auch enthält die Gruppe paartveis inverse 

 Transformationen. Denn es sei y eine complexe Zahl, für die z/^^ =)= 

 ist. Alsdann lässt sich aus der Forderung 



yy=^^ 



nach § 1 eine gewisse Zahl :^ = ^i^i + • • + 2/«^« ableiten. Ist nun 



*) Es fehlt in der Note von Poincare der allerdings wesentliche Zusatz 

 „einfach transitiv". Ferner spricht der Verfasser von Zahlensystemen „analog 

 den Quaternionen". Wir müssen annehmen, dass er hiermit die Systeme mit 

 associativer Multiplication gemeint hat, wie .wir sie in § 1 definiert haben; 



**) Der Beweis des Theorems 38 wurde erst von Study gegeben. Die 

 schönen Untersuchungen Study's werden wir nachher, in § 3, ausführlich be- 

 sprechen und hierbei seinen Beweis vollständig wiedergeben. 



