Auffassung der Zahlensysteme als Gruppen u. Folgerungen aus d. Auffassung. 623 



(10) T,>'Tj = T,T,, 

 uud 



yk'=<Pk{y,..yr, 2/1'. -2//), I ,, , „ , 

 ^k =Myi"yr, Vx.-yr) ] 



Ty"Ty ist nun der Transformation mit den Parametern (Pi(y",y)..cpr{y",y) 

 äquivalent, andererseits Ty T," der mit den Parametern (p^{y, z') . . (pr(y, /'). 

 Hierbei haben wir je r Argumente kurz durch einen Buchstaben an- 

 gedeutet. Die Relation (10) ergiebt also, dass die Functionen <p die 

 B'unctionalgleichungen erfüllen : 



(11) ^ (pki(p(y, y), y) = (pk{y, (p{y, y)) {l = \,2 .. r). 



Die Gleichungen (9) stellen also, wenn man darin y^. . yr als ursprüng- 

 liche, yC..yr' als neue Veränderliche, und y-^ . . yr als Parameter auf- 

 fasst, eine Gruppe dar. Wie schon an der angegebenen früheren 

 Stelle bemerkt wurde, heisst sie die Parametergruppe der geo-ebenen ^''^'''^™°''='^" 

 Gruppe (8). Sie zeigt, wie sich die. Parameter der Transformation 

 der Gruppe (8), die der Aufeinanderfolge zweier Transformationen der 

 Gruppe (8) äquivalent ist, durch die Parameter dieser beiden Trans- 

 formationen ausdrücken. 



Diese Bemerkungen gelten, wenn wir von einer beliebigen 

 Gruppe (8) ausgehen. Gehen wir von der Gruppe (6) unseres Zahlen- 

 systems aus, so finden wir ihre Parametergruppe in der Form (7). 

 Da diese Form mit (6) übereinstimmt, so sehen wir, dass die Gruppe 

 des Zahlensystems mit ihrer Parametergruppe identisch ist. 



eite 

 rameter- 



In der Lie'schen Gruppentheorie wird nun ferner bewiesen*),,,^''"'' 

 dass die obigen 'Gleichungen (9) auch dann eine Gfuppe, die man die «'""pi'« 

 zweite Parametergruppe nennen kann, darstellen, wenn man darin 

 yi • • y/ als die ursprünglichen Veränderlichen und y^ . . yr als die 

 Parameter auffasst. Dies führt zur einer analogen Bemerkung für den 

 speciellen Fall der Parametergruppe (7). Da diese mit der Gruppe (6) 

 des Zahlensystems identisch ist, so folgt, dass mit unserem Zahlensystem g^J/"^ 

 eine zweite einfach transitive Gruppe verknüpft ist. transitive 



In der That sehen wir die Existenz dieser Gruppe auch direct'^''^^'*''''''' 



^ ^ Systems. 



sofort ein : Wir wurden bei der Productbildung x = xy auf eine 

 Gruppe geführt, indem wir x, also den ersten Factor, als variabel an- 

 sahen. Indem wir nun aber den zweiten Factor als veränderlich auf- 



*) Siehe Lie, Theorie der Transformationsgruppen. Erster Abschnitt, bearb. 

 unter Mitw. von Engel, 1888. S. 428. 



