624 Kapitel 21, § 2. 



fassen wollen, was wir dadurch hervorheben, dass wir jetzt den zweiten 

 mit X, den ersten mit y bezeichnen: 



x'==-yx, 

 gelangen wir ganz analog zu einer zweiten einfach transitiven Gruppe 



Xs=^^'YkisXiyk {s =1, 2 . .n) 



1 



mit den Parametern y^..yn, denn die Aufeinanderfolge der beiden durch 



' // ' / 



jü ' u ju ^ X ^-— y X 



dargestellten Transformationen von x^. . Xn in x^. . xü bez. Xy. . Xn in 

 x^'. . Xn ist der durch 



x"= (y'y)x 



dargestellten Transformation von x^. . Xn in x^". . xü' äquivalent. Die 



Parameter y^' . . 2/„" dieser Transformation 



»/ '/ 

 X = y x 



setzen sich aus den Parametern y^. .yn und y-^ . . «// in der Weise zu- 

 sammen, dass 



y"=-y'y 



I 



ist, also genau so, wie die neuen Veränderlichen aus den ursprünglichen 

 und aus den Parametern einer allgemeinen Transformation unserer jetzigen 

 Gruppe hervorgehen. 



Die jetzige Gruppe hat also eine analoge besondere Eigenschaft 

 wie die erstere. Übrigens ist sie offenbar wie diese einfach transitiv, 

 « linear homogen und besitzt die identische sowie paarweis inverse 



Transformationen. 



^h^Tklt"' Engel hat nun allgemein bewiesen'^), dass die beiden einer be- 



^eider^^ licbigen Gruppe (8) zugehörigen Parametergruppen (9) mit einander 



vertauschhar sind. Dementsprechend sind es auch die beiden Gruppen, 



die unserem Zahlensystem zugehören. In der That können wir auch 



dies direct nachweisen: Führen wir zuerst die Transformation 



x = xy 



der ersten mit den Parametern y^ . . «/„, alsdann auf x^' . . Xn die Trans- 

 formation 



x' = zx 



der zweiten mit den Parametern Zy..Sn aus, so ergiebt sich als der 

 Aufeinanderfolge äquivalent die Transformation: 



*) Siehe Lie, a. a. 0. S. 429. 



