Auffassung der Zahlensysteme als Gruppen u. Folgerungen aus d. Auffassung. 625 



die wir auch ohne die Klammer schreiben können, da infolge des 

 associativen Gesetzes z{xy) == {px)y ist, also der Ausdruck zxy einen 

 ganz bestimmten Sinn hat: 



x"=zxy. 



Es ergiebt sich, wenn wir die Reihenfolge der beiden Transforma- 

 tionen ändern, genau dasselbe, denn setzen wir: 



indem wir- zuerst die Transformation der zweiten Gruppe mit den 

 Parametern z^-.Zn ausüben, und ferner: 



x" = x'y, 



indem wir alsdann die Transformation der ersten Gruppe mit den 

 Parametern yi-.yn bewirken^ so kommt als Endergebnis: 



x" = (isx)y 



oder also 



x" = 0xy, 

 wie vorher. 



Da unsere beiden mit einander vertauschbaren einfach transitiven 

 Gruppen paarweis inverse Transformationen besitzen, so besitzen sie 

 auch je oo""^ infinitesimale Transformationen, von denen sie erzeugt 

 werden. Nun haben wir gesehen — vgl. Theorem 31, § 3 des 

 17. Kap. — , dass alle Transformationen, die mit denen einer vor- 

 gelegten einfach transitiven Gruppe vertauschbar sind, eine zweite ein- 

 fach transitive Gruppe, die zur ersteren reciprolie, bilden. Also ergiebt ^''j°^'^"'°^° 

 sich als Ausfluss aus unserer allgemeinen Gruppentheorie das 



Theorem 39: Mit jedem complexen Zahlensystem in n Ein- '^■^l°''lf^ 

 heiten ist ein Paar zu einander reciproker einfach transitiver ""i^ ^^""^^ 

 linearer homogener Gruppen in n Veränderlichen verTcnüpft, ^n'^ertundoneu 

 sofern, als die Multiplication z = xy eine Transformation der 

 einen oder anderen Gruppe darstellt, je nachdem man x^. . Xn 

 hez. yi-.yn cils die ursprünglichen Veränderlichen, dabei y^..yn 

 bez. Xy..Xn als die Parameter und beide Male z^..Zn als die 

 neuen Veränderlichen auffasst. 



Beide Gruppen haben die Eigenschaft, dass die Parameter 

 der Transformation, die der Aufeinanderfolge zweier Trans- 

 formationen einer der Gruppen äquivalent ist, sich genau so 

 aus den Parametern der beiden ursprünglichen Transforma- 

 tionen zusammensetzen, wie bei einer allgemeinen Transforma- 



Ijie, Continuierliche Gruppen. 40 



