626 Kapitel 21, § 2, 3. 



tion der betreffenden Gruppe die neuen Veränderlichen aus den 

 alten Veränderlichen und den Parametern. 



Nachdem Poincare den Zusammenhang zwischen Zahlensystemen 

 %tstemr'^°^ Gruppen angekündigt hatte, liess Weierstrass einen von ihm 

 an Schwarz gerichteten Brief*) veröffentlichen, in dem er sich mit 

 den complexen Zahlensystemen beschäftigt, über die er schon früher 

 in Vorlesungen öfters gesprochen hat. Bei Weierstrass kommt die 

 Auffassung der Multiplication- als Transformation nicht vor, dagegen 

 wird der arithmetische Charakter der Zahlensysteme scharf betont. 

 Ferner verlangt er von vornherein die Commutativität der Multiplica- 

 tion, d. h. er setzt voraus, dass stets 7,7,, = y,,,-, sei. Er sucht nun das 

 Gebiet der Zahlen so einzuschränken, dass eine algebraische Gleichung 

 n^^"" Grades im allgemeinen in dem Zahlensysteme nur eine endliche 

 Anzahl von Wurzeln hat. Dies nötigt ihn zu einigen Bedingungen, 

 denen er die Coefficienten 7a, unterwerfen muss. Es darf nämlich 

 eine gewisse Gleichung n*®'^ Grades weder gleiche noch verschwindende 

 Wurzeln besitzen. Bei diesen Specialforderungen ist es erklärlich, dass 

 die von Weierstrass behandelten Systeme, wie grosses Interesse sie 

 auch von anderen Gesichtspunkten aus betrachtet besitzen mögen, vom 

 Standpunkt der Transformationstheorie aus geradezu als trivial er- 

 ^Antwo'rT*^^^^®^"^"- Wcicrstrass meint, dass die von Gauss aufgeworfene, 

 '"'^Frago''^^^'^ erwähnte Frage, warum in der Arithmetik kein Bedürfnis zu 

 höheren complexen Zahlensystemen vorhanden ist, darin liegt, dass die 

 betreffenden Systeme üherflüssig seien, glaubt aber, dass Gauss die 

 Antwort darin gefunden zu haben meinte, dass in einem solchen 

 System ein Product Null sein kann, ohne dass einer der Factoren 

 Tntwori' Null ist. Wir bemerken, dass schon lange vorher (1867) Hankel**) 

 eine Antwort auf die Gauss'sche Frage in ähnlichem Sinne, wie es 

 AuSung.^eierstrass bei Gauss vermutet, gegeben hat. Nun machte Dede- 

 kind***) 1885 darauf aufmerksam, dass die durch die Weierstrass'scheu 

 speciellen Systeme definierten Grössen geradezu identisch seien mit ge- 

 wissen in der Algebra eingebürgerten mehrwertigen Grössen. Auch 

 er macht, indem er zur Bestimmung aller Systeme einen anderen Weg 

 einsehlägt, jene beschränkenden Voraussetzungen, die Weierstrass 

 aufstellte, wenn er sie auch in anderer Weise ausdrückt. Derselben 



*) Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten ' complexen Grössen. 

 Göttinger Nachrichten 1884, S. 395—419. 



**) Theorie der complexen Zahlensysteme. 1867, S. 108. 

 ***) Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grössen. 

 Göttinger Nachr. 1885, S. 141—159. Erläuterungm dazu, ebenda 1887, S. 1—7. 



