Study's Satz über reciproke einfach transitive lineare homogene Gruppen. 627 



arithmetischen Richtung schliessen sich Holder (1886) und Petersen 

 (1887) an. Auch Kronecker*) beschäftigte sich 1888 mit speciellen, 

 nämlich ebenfalls commutativen Systemen. Seine Untersuchungen, die 

 wir uicht genauer kennen, gehen gewiss wesentlich weiter. 



Demgegenüber hat die Auffassung der Zahlensysteme als Aus- 

 druck gewisser Gruppen von Transformationen zu fruchtbaren neuen 

 Ergebnissen geführt. 



Wir haben schon bemerkt, dass Study 1889 den ersten Beweis 

 für das Theorem 38 gab **). Noch wichtiger ist es aber, dass es ihm 

 gelang, das früher aus der allgemeinen Gruppentheorie übernommene 

 Theorem 39 umzukehren. Study zeigte nämlich, dass zu jedem Paar 

 zu einander reciproker einfach transitiver linearer homogener Gruppen 

 eine einfach transitive lineare homogene Gruppe gehört, in der auch 

 die Parameter linear und homogen auftreten, und dass deshalb zu 

 ihnen ein Zahlensystem gehört. 



Wir beabsichtigen nun, dieses Theorem von Study zu beweisen. 

 Der Gang, den wir einschlagen, ist im wesentlichen von Study selbst 

 angegeben worden. Wir geben aber im Gegensatz zu ihm eine rein 

 gruppentheoretische Entwickelung. 



§ 3. Study's Satz über reciproke einfach transitive lineare 

 homogene Gruppen^**). 



Wir machen zunächst eine wichtige Vorbemerkung: 



Betrachten wir zwei infinitesimale lineare homogene Transforma- v'or- 



^ bemerkung. 



tionen in n Veränderlichen x^..Xn mit den Symbolen: 



xr=2?2f 



CCikXkPi, 



Yf=^^ßßXiPj. 

 1 



Sie sind mit einander vertanschbar, d. h. es ist (XF)^0, sobald, 



*) Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Modulsysteme. 

 Öitzungsber. der Akad. d. Wiss. zu Berlin 1888, 1. Bd., S. 429 ff. 



**) Complexe Zahlen und Transformationsgruppen. Leipziger Berichte 1889, 

 S. 177—228. Wiederabdruck in den Monatsheften für Math. u. Phys. I, S. 283 

 bis 355. Wir eitleren im Folgenden die Leipziger Berichte. 



***) Die in diesem Paragraphen enthaltene rein grnppentheoretische Dar- 

 stellung der Study'schen Betrachtungen rührt von Scheffers her. 



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