630 Kapitel 21, § 3. 



•/"uf^'die -^^ möge nunmehr eine r-gliedrige lineare homogene Gruppe 



mit deiien V ^ V /- jj^ dcu w Veränderlichen x...Xn vorliegen. Alsdann wird 



üiner Im. 1/ ' / i " o 



Grurp» es iij2 allgemeinen eine Schar von infinitesimalen linearen homogenen 



vertauscli- ~ • O 



bar sind Transformationen vn x^. . Xn geben, die mit allen Xj/". . 'Krf vertausch- 

 bar sind. Sind zwei infinitesimale Transformationen mit X^jT. . X^/" 

 vertauschbar, so ist es auch jede aus den beiden linear ableitbare. 

 Alle mit Xi/". .X;./" vertauschbaren infinitesimalen linearen homogenen 

 Transformationen bilden demnach eine lineare Schar, d, h. sie sind 

 der Inbegriff aller infinitesimalen Transformationen, die aus gewissen 

 von einander unabhängigen Y^f . . Y^f linear ableitbar sind. Wir 

 nehmen also an, jede infinitesimale lineare homogene Transformation 

 in Xi . . Xn, die mit allen X^/". . Xrf vertauschbar ist, habe die Form 

 UConstYf. 



Insbesondere sei: 



n 



(15) Y,f:EEyi yiß,ux,p; {l=\,2..s). 



Es ist auch jeder Klammerausdruck {YiYi) mit X^f . . Xrf ver- 

 tauschbar, (]enn in der Identität 



{{Y,Y,)X) + ((r,xor;-) + {{x^Y,)Y,) = o 



verschwinden die beiden letzten Glieder, da nach Voraussetzung 

 {YkX,)E^O, {XiYi)^0 ist. Jede infinitesimale Transformation (r,Y"i) 

 ist folglicli, weil sie überdies linear homogen ist, aus Y^f. . Ygf linear 

 ableitbar. Nach dem Hauptsatze erzeugen somit Y^f. . Ysf eine 

 s-gliedrige Gruppe. 



Die endlichen Transformationen dieser Gruppe lassen sich in Form 

 von Reihenentwickelungen bekanntlich (vgl. § 5 des 15. Kap.) so dar- 

 stellen: 



s * 



(16) Xi = Xi -\-^euYT,Xi + j-^ '^^CkCiYkiYiX,) -\- - ■ • 



1 1 



(i= 1, 2..w). 



Nach unserem Satze 1 aber ist die infinitesimale lineare homo- 

 gene Transformation TJf, bei der 



dxi = Yi,{YiX^)öt (i = 1, 2..n) 



ist, ebenfalls mit X^/". . X;./' vertauschbar, d. h. von der Form Z'Const.r/l 



Wir haben daher: 



« • 



(17) Yt,{YiX>) =^vGonBi.Y,Xi 

 (*= 1, 2..W, Ti,l^ 1, 2..S). 



