Study's Satz über reciproke einfach transitive lineare homogene Gruppen. 631 



Es muss Yjf ausgeführt auf die eine und die andere Seiie dieser Iden- 

 tität dasselbe ergeben, d. h. es ist auch 



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Yj{Y,{Y,x;)) =^rQoustYj{Y,x). 



Nach (17) hat hierin die rechte Seite die Form 2JConst. Yv^«. Wir 

 können diesen Schluss wiederholen, indem wir beiderseits Y),f aus- 

 üben, u, s. w. So ergeben sich Formeln von dieser Art: 



Y,{YiXi)=^rGou^i.YrXi, 

 1 



s 



Yj{Yt,{Yix,)) e=e2 Const. Y^.Xi, 



In den Reihenentwickelungen (16) treten nun rechts gerade lauter 

 Glieder von dieser Art auf. Mithin hat in diesen Reihenentwicke- 

 lungen jeder Term die P'orm ZlCon&i.Yxi. Daher lassen sich diese 

 Entwickelungen so zusammenziehen: 



xl = Xi -\-^QkYi,Xi {i = \, 2 . . n). 



Qx- . Qs bedeuten dabei gewisse Constanten, abhängig von den in (16) 

 auftretenden Parametern e^ . . e^. Wegen der angenommenen Form (15) 

 der Yf sehen wir also: Die endlichen Gleichungen der von Y^f . . Y^f 

 erzeugten Gruppe haben die Form : 



s n 



(18) Xi = X; -j-^^iQkßküOOi (^■ = 1, 2 . . n), 



1 1 



in denen ^^ . . ^, Functionen der s Parameter der Gruppe sind. Natür- 

 lich sind diese s Functionen notwendig von einander unabhängig, da 

 die Gruppe Y^f. . Y^f gerade s-gliedrig ist. Wir können deshalb direct 

 Qi. . Q, als die Parameter der Gruppe auffassen. 



Wir wollen aber die endlichen Gleichungen dieser Gruppe in den 

 Parametern homogen schreiben. Dazu bemerken wir, dass die Gruppe 

 Yif. . Ysf sicher die infinitesimale Transformation 



XlPl + X2P2 + • • + Xnl^n ' 



enthält, denn diese ist ja mit jeder infinitesimalen linearen homogenen 

 Transformation, daher insbesondere mit X^f. . Xrf, vertauschbar. Wir 

 dürfen demnach auch z. B. 



