632 Kapitel 21, § 3. 



Ylf^^iPl + X2P2 -\ h.XnPn 



annehmen, sodass nach (15) jedes ßm gleich 1 oder ist, je nachdem 

 i = l oder i =|= l ist. In (18) tritt dann q^ nur mit Xi multipliciert 

 auf, sodass wir das rechts alleinstehende Xi mit diesem zusammen- 

 fassen können, indem wir ()i + 1 nunmehr mit q^ bezeichnen. 



Wir können also in den Gleichungen (18) jedenfalls ohne Beein- 

 trächtigung der Richtigkeit das rechts alleinstehende Xi streichen, 

 sodass die endlichen Gleichungen der von YJ. . I^/ erzeugten Gruppe 

 so lauten: 



(19) xl =^^ Qk ßku Xi (i = 1 , 2 . . w) 



1 1 

 oder auch 



s 



(19') Xi=^QkYkXi (^• = l, 2..w). 



1 



Dabei sind, wie gesagt, q^-.q, sämtlich wesentliche Parameter der 

 Gruppe. Also : 



der'^nn^Trf., ^^^^ 2*)* ^^ Inbegriff aller infinitesimalen linearen homogenen 



^,^:,':^,Jransformationen YJ..Y,f in n Veränderlichen x,..x„, die mit den 



ve^taxTh- infinitesimalen Transfortnationen XJ.. Xrf einer vorgelegten linearen 



bar sind. Jiomogenen Gruppe in x^..Xn vertauschhar sind, erzeugt eine Gruppe mit 



endlichen Gleichungen von der Form: 



Xi =^^ QkßkiiXi («■ = 1, 2 . . w), 

 1 1 



in der die s Parameter der Gruppe q^..Qs linear und homogen auftreten. 



oSrSt. Wir beginnen nun eine neue Betrachtung, indem wir uns eine 

 Gruppe"^; solche einfach transitive lineare homogene Gruppe G^ in x^.. x^ vor- 

 gelegt denken, deren reciproke Gruppe G.^ ebenfalls linear homogen ist. 

 Dabei erinnern wir an die in § 3 des 17. Kap. gegebene Definition 

 der Reciprocität. 



Lassen wir G^ an die Stelle der Gruppe XJ..J^,f des letzten 

 Satzes treten, so ist G^ die daselbst mit YJ. . YJ bezeichnete Gruppe, 

 also r = s = w. In der That, es enthält ja die zu G^ reciproke 

 Gruppe alle infinitesimalen Transformationen, die mit denen von Gi 

 vertauschbar sind. Da wir voraussetzen, dass die reciproke Gruppe 

 . G^ auch linear homogen ist, so enthält sie also alle infinitesimalen 

 linearen homogenen Transformationen in x^.. x„, die mit denen von 



*) Study, a. a. 0. S. 201, 



