Study's Satz über reciproke einfach transitive lineare homogene Gruppen. 633 



G^ vertauschbar sind, und wird von ihnen erzeugt. Der letzte Satz 

 sagt daher aus: 



In den endlichen Gleichungen der Gruppe G.^ treten die n Para- 

 meter der Gruppe auf den rechten Seiten linear und homogen auf, 

 oder exacter ausgesprochen: Man kann die endlichen Gleichungen der 

 G.2 so schreiben, dass die Parameter in dieser Weise auftreten. 



Aber umgekehrt wird ganz entsprechend auch die Gruppe Gj von 

 allen infinitesimalen linearen homogenen Transformationen in x^ . . Xn 

 erzeugt, die mit denen von G^ vertauschbar sind. Wir können also 

 denselben Schluss für die endlichen Gleichungen der Gruppe G^ 

 machen. 



Die endrichen Gleichungen beider Gruppen lassen sich also, wenn 

 jedesmal yi-.yn die n Parameter bedeuten, in den Formen schreiben: 



(20) 



n 



G^ : xi' ^^'^aai Xu iji , 

 1 



n 



G^: xl=^^hwXkyi 



(i = 1 , 2 . . w) 



Wir wollen dies Ergebnis als Satz formulierep: 



Satz 3*): Die endlichen Gleichungen zweier zu einander reciproker 

 einfach transitiver Gruppen von linearen homogenen Transformationen in 

 n Veränderlichen x^. . x„ lassen sich stets in einer solchen Form schreiben, 

 dass die transformierten Veränderlichen hilineare homogene Functionen der 

 n ursprünglichen Veränderlichen und der n Gruppenparameter tcerden. 



Wir werden nunmehr die beiden zu einander reciproken Gruppen Neue ver- 

 G^ und G2 dadurch auf noch einfachere Formen bringen, dass wir invermüge^un. 

 beide durch ein und dieselbe passend gewählte lineare homogene 

 Transformation neue Veränderliche einführen. Allerdings verfahren 

 wir dabei so, dass wir zunächst nur in die Gruppe G^ die neuen Ver- 

 änderlichen einführen, wodurch sie eine gewisse neue Form ©^ an- 

 nimmt. Dieselbe Transformation wird gleichzeitig G^ in eine neue 

 Gruppe ©2 überfuhren, und zwar ist %^ die zu ®, reciproke Gruppe. 

 Wir werden im Folgenden von G^ nur die in den ersten Gleichungen 

 (20) ausgedrückten Eigenschaften gebrauchen, nämlich die, dass G^ 

 eine einfach transitive Gruppe von linearen homogenen Transformationen 

 ist, in deren endlichen Gleichungen die Parameter ebenfalls linear und 

 homogen auftreten. Es wird uns gelingen, diese Gruppe G^ direct in 



*) Study a. a. 0. S. 201. 



