634 Kapitel 21, § 3. 



eine Gruppe (3^ überzuführen, die zu einem Zahlensystem gehört. Als- 

 dann aber ist es augenscheinlieh, dass zu @j die ebenfalls lineare 

 homogene reciproke Gruppe ®2 gt'hört. Die früher gemachte Voraus- 

 setzung, dass die zu &^ reciproke Gruppe auch linear und homogen 

 sei, wird also nicht benutzt. Dalier gehen die Betrachtungen von jetzt 

 ab auch den Beweis der zweiten Hälfte des Theorems 38. 



■ Zur Abkürzung seien die endlichen Gleichungen der Gruppe G^ 

 für die nächsten Betrachtungen einfach so geschrieben: 



(21) Xi'^fiix, ij) {i = l,2..n). 



Dabei bedeuten die f, wie wir wissen, bilineare homogene Functionen 

 der Variabein Xi . . x„ und der Parameter ^/i • • ^n« Wir machen nun 

 eine kleine Einschaltung: 



Führen wir zwei Transformationen der Gruppe Gi nach einander 

 aus, die mit den Parametern yi-.ijn und die mit den Parametern 

 yi..yn, indem wir setzen: 



(22) Xi = fi(x,y), Xi' = f;{x' , y) {i=^i,2..n). 



Die Aufeinanderfolge ist einer einzigen Transformation der G^ mit ge- 

 wissen Parametern y^'. .yü' äquivalent: 



(23) xl'=f{x,f) (^=l, 2..n). 



Dabei sind y^' . . y^" gewisse Functionen von y^. .yn und y^' . . yn, die 

 wir so bezeichnen: 



(24)" yr=^>Ay,y) (^ = l, 2..^). 



Da in (22) die y und y linear und homogen auf den rechten Seiten 

 auftreten, so ist es klar, dass die y" in den durch Elimination von 

 x^ . . Xn aus (22) hervorgehenden Gleichungen (23) hilineare homogene 

 Functionen (p^ . . cp,^ von y^. . yn und y.^ . . y» sind. Sicher bestehen nun 

 die Functionalgleichungen: 



(25) Mf(x, y), y') = fix, cp(y, y')) (i = 1, 2 . . n), 



die eben jene Elimination von a?/. . x» aus (22) zum Ausdruck bringen. 



Es bedeute nun x^^ . . Xn ein bestimmt, aber allgemein gewähltes 

 V^ertsystem der Veränderlichen x^..Xn. Alsdann führen wir in .G^ 

 als neue Veränderliche die n Grössen ^.y . . £„ ein, die durch die n 

 Gleichungen definiert werden: 



(26) x,^f{x',i) (i=l, 2..W) 

 oder also nach (20) durch die n Gleichungen: 



