Study's Satz^über reciproke einfach transitive lineare homogene Gruppen. 635 



n 



(26') ^^ = >? yjaaix.'i, {i=l,2.. n). 



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In der That bestimmen diese Gleichungen Ji . . J« als von einander 

 unabhängige Functionen von x^ . . Xn. Denn wir wählen das Wert- 

 system Xi\ . Xn^ so, dass die Determinante 



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■/camXk^ 'H=0 



ist. Dies ist möglich, da sie nicht identisch Null ist für alle Wert- 

 systeme Xi°. . Xn^, weil die Gleichungen (20) der einfach transitiven 

 Gruppe Gl nach den n Parametern y^. .ijn auflösbar sind. Ji . . J„ 

 sind also nach (26') von einander unabhängige lineare homogene Func- 

 tionen der ursprünglichen Veränderlichen x^. . Xn. 



Um die neuen Veränderlichen r, . . r„ in G, einzuführen, brauchen^?^'^™'""°8 



^^ ^ '■ > der neuen 



wir nun die Gleichungen i^'S) oder (26') gar nicht erst nach Ji . . J„ ^"l^^^^^ 

 aufzulösen. Wir haben nämlich, wenn wir die neuen Veränderlichen «"^«ppe- 

 in alle unsere Gleichungen von (22) an einführen wollen, statt Xy..Xn 

 x( . . Xn, x^'. . Xn' in cogredienter Weise i^ . . j^, j:/. . j„', j/'. . j/' ein- 

 zuführen vermöge der Gleichungen: 



^i = fi{x', l), xl= U{x\ i), xl'= /■,« i') 



Die Transformation (21) lässt sich daher in den neuen Veränderlichen 

 so schreiben: 



fi{x\ i) = tmA i). y) {i = l,2-- n). 



Hierfür aber können wir infolge der Functionalgleichungen (25) auch 

 schreiben: 



fi{Ai) = fi{x%cp{i,y)) (i=l, 2..n). 



Es sind dies n Gleichungen, deren linke Seiten in g,'. . j/, deren rechte 

 Seiten in (pi(x, y) . . (pnil^, y) linear und homogen sind. Da die Deter- 

 minante der linken Seite hinsichtlich j/. . j/ nach dem Obigen nicht 

 Null ist, lassen sich die Gleichungen in nur eindeutiger Weise nach 

 Ji'. . j„' auflösen. Man sieht aber aus ihrer Form unmittelbar, dass 

 sie die Auflösung besitzen: ' 



(27) tl=9i{h y) (^==1, 2..^). 



Die (fi sind hierbei, wie wir wissen, bilineare homogene Functionen 

 von £i . . J„ und y^^ . . y»- Dies ist also die Form (S^, die unsere Gruppe 

 (xj durch Einführung der Veränderlichen £,..£„ vermöge der durch (26) 

 oder {26') gegebenen linearen homogenen Transformation annimmt. 



