638 Kapitel 21, § 3. 



Die neue ^s ist Duii leiclit, " die ziu" Gruppe G. reciproke Gruppe direct 



J>'orm der ' /\•f^1^^^ 



anderen hinzuschreiben. Sie geht nämlich aus (28) einfach dadurch hervor, 



Gruppe. " 



dass jedes yiks durch ytts ersetzt wird: 



n 



(32) x^=^'^YkisXiyk (s = 1, 2 . . n). 



In der That, diese Gleichungen (32) stellen zunächst oo" ver- 

 schiedene lineare homogene Transformationen von x-^^..Xn in x^ . . xü 

 dar, da ^y e]e und /l^ =|= ist. Ferner bilden sie eine Gruppe, denn 

 führt man nach der Transformation (32) die mit den Parametern 

 y^ . . yü aus, so geht als der Aufeinanderfolge äquivalent augenschein- 

 lich diejenige Transformation hervor, die aus (30) entsteht, wenn man 

 darin y,vts durch ykis und y^it durch yi,t ersetzt. Wenn wir aber in (31) 

 die Indices i und l vertauschen, so folgt, dass 



* 71 n 



y'] Tkh yist '■=^ yiks Vsit 

 1 1 



ist, sodass die äquivalente Transformation so geschrieben werden kann: 



l..n 



Xt'=^yiksysiiXiykyi {t=l,2..n). 



, 3,i,k,l 



Dies ist aber nichts anderes als eine Transformation 



n 



xl' =2^ y^ii ^i ^s' {t='l, 2 . .n) 

 1 



aus der Schar- aller» Transformationen (32) und zwar ist dabei: 



n 



^yjyiksykyi (s== l, 2.. w). 



Also bilden alle Transformationen (32) eine einfach transitive lineare 

 homogene Gruppe. Dabei ist die Aufeinanderfolge der Transforma- 

 tionen der Gruppe mit den Parametern yi . .. y„ bez. «//. . «/„' äquivalent 

 einer Transformation der Gruppe mit solchen Parametern 0^". . Zn, 

 dass sich die z". . ä„" durch y^. .yn und ^i'. . y,,' genau so ausdrücken 

 wie bei einer allgemeinen Transformation der Gruppe (32) die neuen 

 Veränderlichen x^ . . Xn durch die alten x^.-Xn und die Parameter 

 2/i . . yn- Also hat auch diese Gruppe (32) jene besondere Eigentüm- 

 lichkeit, die der Gruppe G^ in der Form (28) zukam. D. h. auch die^ 

 Gruppe (32) ist ihre eigene Parametergruppe. 

 bafiieit' Noch bleibt übrig zu zeigen, dass jede Transformation de 



Gruppen. Gruppc (32) mit jeder Transformation der Gruppe (28) vertauschhat 



