640 Kapitel 21, § 3. 



Transformation neue Veränderliche x^. . x^ einführt, auf eine solche Form 

 gebracht werden, dass die Gleichungen 



die eine, die Gleichungen 



H 



X, 



1 



die andere Gruppe darstellen, wenn jedesmal y^. .yn die Parameter be- 

 deuten. Jede der beiden Gruppen ist alsdann ihre eigene Parametergruppe. 



uuondiich -yyir heben noch ausdrücklich hervor, dass wir augenscheinlich 



Arten der gjjj vorgelegtes Paar zu einander reciproker einfach transitiver linearer 



Bcduction. od a it i • i tit • 



homogener Gruppen in n Veränderlichen auf unendlich viele Weisen 

 auf ein Gruppenpaar, vsrie es in dem Satze angegeben ist, durch Ein- 

 führung neuer Veränderlicher vermöge einer linearen homogenen Trans- 

 formation zurückführen können. Wir erkennen aber: Ist die einfach 

 transitive Gruppe G^ oder: 



n 



xj = '^ ^fyiks^iVk (s = 1, 2 ..n) 



ihre eigene Parametergruppe, und führen wir neue Veränderliche Xi..x„ 

 vermöge einer linearen homogenen Transformation 



Xi = aaXi -f • • -j-ainXn (« = 1, 2 . . n) 



ein, so ist sie nicht mehr ihre eigene Parametergruppe, sobald sie 

 dabei überhaupt ihre Gestalt ändert, denn die Parameter setzen sich 

 ja wie vorher zu neuen Parametern zusammen. Soll also auch die 

 neue Gruppe G^ ihre eigene Parametergruppe sein, so muss man 

 gleichseitig neue Parameter y^. .y„ in cogredienter Weise, d. h. durch 

 dieselbe lineare homogene Transformation 



yi = anyi -\ f- a,„2/n (^ = 1, 2 ... n) 



einführen. 



Das zu den Es ist nunmchr leicht zu beweisen, dass su jedem Paar reciprolcer 



gehörige cinfttch transitivcr linearer homogener Gruppen G^ und G^ in n Ver- 

 System. ünderlicJicn ein Zahlensystem in bestimmter Weise zugeordnet ist. 



Wir haben ja gesehen, dass wir in die beiden Gruppen durch 

 dieselbe lineare homogene Transformation solche neue Veränderlich| 

 x^. . x„ einführen können, dass sie die Formen 



