642 Kapitel 21, §§ 3, 4. 



der Multiplication xy in dem System (e^ . . e„) unterlegen und haben 

 für diese Multiplication die Regel: 



{.xy)y=x{yy), 



d. h. das associative Gesetz. 



Ferner ist die Multiplication umkehrbar, da die ersten n Glei- 

 chungen (35) nach x^. .Xn wie nach y^. .y» auflösbar sind. Die 

 Gruppe Gj^ stellt folglich die Multiplication in einem gewissen Zahlen- 

 system von eben der Art dar, wie wir es in § 1 allgemein definiert 

 haben. Zu jedem solchen Zahlensystem gehört nach § 1 eine zweite 

 zu Gl reciproke einfach transitive Gruppe, die sich symbolisch so 

 darstellt: 



x' = yx. 



Dass dies gerade die obige Gruppe G.^ ist, bedarf keiner weiteren Er- 

 läuterung. 

 Theö'^Gm Hiermit sind wir zu dem Study 'sehen Theorem*) gelangt: 



Theorem 40: Zu jedem Paar reciproJcer einfach transitiver 

 Gruppen von linearen homogenen Transformationen gehört ein 

 complexes Zahlensystem derart^ dass die beiden Gruppen durch 

 Einführung derselben Veränderlichen vermöge einer geeigneten 

 linearen homogenen Transformation in die zu einem Zahlen- 

 system gehörigen beiden Parametergruppen übergehen. 



Hiermit ist dann auch nach dem früher Gesagten das Theorem 38 

 vollständig bewiesen. 



Ein vorgelegtes Zahlensystem (e^ . . e„) kann seine äussere Gestalt 

 dadurch erheblich ändern, dass man statt ei..e„ irgend welche n andere 

 Zahlen des Systems als Einheiten benutzt, zwischen denen keine lineare 

 homogene Relation besteht, indem man also etwa 



ej 



n 



=^ccjiei (i= 1, 2 . .n) 



setzt, sobald man nur die Constanten «y so wählt, dass ihre Deter- 

 minante nicht verschwindet. Wählt man diese n von einander linear 

 unabhängigen Zahlen gj . . e„ des Systems als Einheiten, so ändern sich 

 natürlich die Multiplicationsregeln der Einheiten. Aber wir werden 

 das System (e^ . . e„) trotzdem nicht als wesentlich verschieden vom 

 System (ßj . . e„) betrachten. Vielmehr rechnen wir zwei Zahlensysteme, 

 die aus einander durch andere Auswahl der Einheiten hervorgehen, zu 



*) Study a. a. 0, S. 202. 



