Beispiele von Zahlensystemen. 643 



demselben Typus. Kennt man ein System des Typus, so kennt man '^yp"^ «^^^ö» 



, ^r ; System^. 



ja sofort alle Systeme desselben. 



Für die mit dem Systeme verbundenen Gruppen G^ und G.^ kommt 

 die Einführung neuer Einheiten darauf hinaus, dass statt der Ver- 

 änderliehen und Parameter der Gruppe durch eine gewisse lineare 

 homogene Transformation gleichzeitig neue Veränderliche und Para- 

 meter eingeführt werden, wodurch, wie wir wissen, wieder zu einander 

 reciproke Gruppen hervorgehen, die ihre eigenen Parametergruppen 

 sind. Da nun zwei lineare homogene Gruppen mit einander (inner- 

 halb der allgemeinen linearen homogenen Gruppe) gleichberechtigt sind, 

 wenn sie durch lineare homogene Transformation in einander über- 

 gehen, so rechnen wir sie zu demselben Typus. Daher gehören zu 

 Zahlensystemen desselben Typus offenbar auch Gruppen desselben 

 Typus. 



Wenn wir ferner das Zahlensystem dadurch abändern, dass wir 

 in der Multiplicationsregel 



eiCk = yfyikses (i, 1 = 1, 2 . . n) 



Ci und Ck links vertauschen, so kommt das darauf hinaus, dass wir 

 allgemein als Product zweier Zahlen x, y des Systems nicht das frühere 

 Product xy, sondern das Product yx betrachten. Nach wie vor gilt 

 dann das associative Gesetz. Denn multiplicieren wir in dem neuen 

 Sinne yx ferner mit ^, so kommt 2{yx), und dies ist gleich (2y)x. 

 Die Abänderung kann auch so ausgesprochen werden: Wir ersetzen 

 jedes yiks durch das entsprechende ykis, d. h. wir vertauschen die 

 Gruppen G^ und G^ mit einander. Das so hervorgehende Zahlen- 

 system heisse das zum ursprünglichen reciproke System. Da es keine 

 wesentlichen Verschiedenheiten von jenem darbietet, so rechnen wir 

 es zu demselben Typus wie das ursprüngliche System. Es folgt 

 also noch 



Satz 5 : Zu je zwei Zahletisystemeii desselben Typus gehören zwei »o^ zw. 

 Taare reciproJcer einfach transitiver Gruppen, die durch eine lineare honio- Systemen 

 gene Transformation in einander übergehen, zu je zwei Systemen verschie- öruppen- 

 dener Typen aber zwei Gruppenpaare, die nicht durch eine lineare homo- 

 gene Transformation in einander überführbar sind. 



§ 4. Beispiele von Zahlensystemen. 



Lie hatte schon lange allgemeine Methoden zur Aufstellung aller thl^oMtfsche 

 Untergruppen einer gegebenen Gruppe entwickelt. Diese Bestimmung.wsy^ 



Berechnung 

 eme. 



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