644 Kapitel 21, § 4. 



hatte er u. A. vollständig durchgeführt für die allgemeine lineare 

 homogene Gruppe in zwei und drei Veränderlichen, ferner hatte er 

 ausführliche Andeutungen für den Fall von vier Veränderlichen cre- 

 geben. Es war also von vornherein klar, dass die Bestimmung der 

 Zahlensysteme in zwei und drei Einheiten keinerlei und der in vier 

 Einheiten nur geringe Schwierigkeiten bieten konnte. Es handelte 

 sich ja nur darum, unter den eben erwähnten Untergruppen der 

 linearen homogenen Gruppen diejenigen einfach transitiven heraus- 

 zugreifen, in deren Gleichungen auch die Parameter linear auftreten. 

 Diese auf Zahlensysteme zurückzuführen, machte dann keine Mühe. 

 Die Rechnung wurde durch die aus der Form der Gruppen des Zahlen- 

 systems unmittelbar entspringende Bemerkung von Lie erleichtert 

 dass es sich um die einfach transitiven linearen homogenen Gruppen 



^kf= ^kllh -\ \- ^knPn (k=l, 2 . .n) 



handelt, deren endliche Transformationen die Form besitzen: 



«/= yi^ii H h y„ini («■ = 1, 2 . . n), 



unter «/j . . 2/« die Parameter verstanden. Fragt es sich, ob eine ein- 

 fach transitive Gruppe 



Ukf= yi ^j ttkijXjPi (^ = 1, 2 . . w) 



zu einem Zahlensystem gehört, so hat man also nur zu untersuchen, 

 ob die endlichen Gleichungen der Gruppe diese sind: 



Xi 



n / " \ 



unter y^. .pn die Parameter verstanden. Ist dies der Fall, so gehört 

 nämlich infolge des Theorems 38 zu der betreffenden Gruppe ein 

 Zahlensystem. Durch Einführung passender linearer homogener Func- 

 tionen der Xj^. .Xn als neuer x^ . . x„ bringt man sie dann auf die 

 nötige Form der Gruppe XJ. . X„f eines Systems. 



Es ist also klar, dass implicite durch Lie 's Arbeiten das Problem 

 der Bestimmung aller Zahlensysteme in 2 und 3 Einheiten erledigt 

 und für die Systeme in 4 Einheiten wenigstens in iiohem Masse vor- 

 bereitet worden war. 



Man kann aber auch darauf ausgehen, direä die Systeme zu he- 

 methodfr^^^'*^*^^**' ohne die Beziehungen zur Gruppentheorie zu verwerten, indem 

 man den eigentümlichen Algorithmus der Systeme benutzt. In der 

 That sind von verschiedenen Autoren verschiedene Wege bei der Be- 

 stimmung der Systeme eingeschlagen worden. 



Andere 

 Be- 



