Beispiele von Zahlensystemen. 645 



Die Systeme in zwei EMieit&n scheinen zuerst und zwar vor 1880 ^ uebef *" 

 von Weierstrass in seinen Vorlesungen über Functionentheorie auf- j^^^^^^^^^J'^^^ 

 gestellt worden zu sein. Unabhängig davon berechnete Cayley */"®y^*"'""- 

 1883 ebenfalls diese. Die Sijsteme in drei und vier Einheiten wurden 

 zum ersten Male von Study**) 1889 aufgestellt. Er bediente sich 

 dabei einer directen Methode durch Benutzung der charakteristischen 

 Gleichung eines Systems, von der wir unten sprechen werden. Un- 

 abhängig davon berechnete Scheffers***) noch einmal die Systeme 

 in drei Einheiten, indem er von der Li e 'sehen Aufstellung aller linearen 

 homogenen Gruppen in drei Veränderlichen ausging. Alsdann be- 

 stimmte Schef ferst) auf einem zwar auf gruppentheoretische Sätze 

 sich stützenden, aber von der Lie'schen Aufstellung der linearen homo- 

 genen Gruppen unabhängigen Wege 1889 nochmals die Systeme in 

 vier Einheiten und stellte zugleich alle Zahlensysteme in fünf Einheiten 

 auf. Weiter ist man bis heute nicht gegangen. 



Es giebt aber gewisse Classen von Zahlensystemen, deren allge- 

 meine Form man in beliebig vielen Veränderlichen untersucht hat. 

 Um diese Classen zu charakterisieren, müssen hier noch einige Be- 

 griffe erklärt werden: 



Wählt man in einem Systeme {e^ . . e„) eine allgemeine Zahl 



und bildet die Producte xx, xxx... oder kürzer geschrieben x^, x\.., 

 so wird, da das System nur n Einheiten besitzt, also zwischen höch- 

 stens n + 1 Zahlen des Systems stets eine lineare Gleichung mit ge- 

 wöhnlichen Coefficienten besteht, mindestens die w*« Potenz o;" sich 

 linear durch den Modul £, sowie durch ic, a;^ • • a;"-Mn der Form aus- 

 drücken lassen: 



in der ^l)^, f^--'^" gewöhnliche Coefficienten sind, nämlich offenbar 

 gewisse ganze Functionen von x^ . . x». Aber es kann schon eine 

 frühere Potenz, sagen wir die Ä;*% x^, von den vorhergehenden und 

 dem Modul s abhängig sein: 



(36) x^ == (PiX'^-' -}- (p.x^-^ -] h^-t«- 



Hierin sind dann cp^, (p^ . . fpk wieder gewisse ganze Functionen der 



*) On double algebra. Proceed. of the Lond. Math. Soc. XV, S. 185—197. 

 **) Über Systeme von complexen Zahlen. Gott. Nachr. 1889, S. 237—268. 

 ***) Zur Theorie der aus n Haupteinheiten ableitbaren höheren complexen Zahlen. 

 Leipz. Ber. 1889, S. 290—307. 



t) Über die Berechnung von Zahlensystemen. Leipz. Ber. 1889, S. 400—457. 



