646 Kapitel 21, § 4. 



gewöhnlichen Zahlen x^..Xn. Ist dies die niedrigste Potenz, so ist 

 9?^ e}= 0, da sonst durch Division mit x eine niedere Gleichung hervor- 



sjSemr S^^S®' ^^® ^^^^ ^ ^^^^^* """ •^^^ ^**^ ^«« Systems. Er ist an die 

 Grenzen gebunden 



2<'k<n. 



gSS ^^ie Gleichung (36) heisst die (reducierte) charakteristische Gleichung 



des Systems .(^5 SystetHS. 



In ihr treten als nicht gewöhnliche, sondern höhere Zahlen nur 

 die Potenzen a;^ x'^-K . . x auf, denen sich als „nullte" Potenz der 

 Modul x9 = s zuordnen lässt. Fassen wir also für den Augenblick 

 einmal x auch als eine gewöhnliche Zahl u auf, so liegt eine Gleichung 

 /c*«^ Grades 



vor, die Je Wurzeln u^ . . Uk im gewöhnlichen Zahlengebiet besitzt. Es 

 ist alsdann 



«*1 + «*2 H \- ^k== fpi, 



U^U^ + MjWg + • • + Uk-itl/c = — (P2 



u. s. w. Deshalb kann die charakteristische Gleichung (36) auch so 

 geschrieben werden: 



(37) (x -r- «j s) (x — u^e) ■ • (x — Uks) = 0. 



Man darf aber hieraus nicht schliessen, dass a; == m,£ oder u^s u. s.w. 

 ist. X ist ja eine allgemeine Zahl des Systems, während u^, u^ . . u^ 

 gewöhnliche Functionen der gewöhnlichen Zahlen x^ . . Xn sind. Mau 

 sieht also, dass in jedem Zahlensystem ein Product Null sein kann, 

 ohne dass einer der Factoren Null ist. Diese Bemerkung sieht 

 Hankel*) als die Antwort auf die Gauss'sche oben erwähnte 

 Frage an. 



Der Grad Je des Systems hat übrigens, wie Study**) hervorhob, 

 noch eine besondere Bedeutung: Es ist Je die Stufenzahl, also Je — 1 

 die Dimensionenzahl des kleinsten ebenen Raumes, in dem die Bahn- 

 curve eines Punktes (ic, . . x») bei einer allgemeinen eingliedrigen 

 Untergruppe einer der Gruppen des Zahlensystems enthalten ist, vor- 

 ausgesetzt, dass man Xi . . x„ als cartesische Punktcoordinaten deutet. 



Wir können nunmehr die Problemstellung in mehreren neueren 

 Arbeiten genauer angeben: 

 Systeme. In Seinem citierten Briefe (1884) beschränkt sich Weierstrass 



*) Hankel, a. a. 0. S. 108. 

 **) Leipz. Ber. a. a. 0. S. 194. 



