Beispiele von ZahlenBystemen, 647 



auf die Systeme, die erstens commutativ sind, zweitens den Grad ]c = n 



besitzen und bei denen drittens die Je = n Wurzeln u^ . . Un sämtlich 



von einander verschieden sind. Er hätte übrigens die erste Annahme 



nicht zu machen brauchen, da sie eine Folge der beiden andern ist. 



Die Systeme Weierstrass' lassen sich sämtlich durch Einführung passen- * 



der Einheiten e^ . . e„ auf die allgemeine Form bringen, dass jedes 



ei^ = Ci, aber e,ei. = für i =^Jc ist. 



Study*) hat 1889 alle Zahlensysteme bestimmt, deren Grad Je ^Z!!''^** 

 gleich der Anzahl n der Einheiten ist, unter denen also als Specialfälle 

 die Weierstrass'schen Systeme vorhanden sind. Ferner bestimmte 

 Scheffers**) 1891 alle Zahlensysteme, deren Grad h um Eins Ueiner j^^J^^^"^^ 

 als die Anzahl n der Einheilest ist, und führte das entsprechende Pro- 

 blem für k = n — 2 soweit durch, dass nur noch unwesentliche klei- ^.^^^^^^''^ 

 nere Rechnungen übrig blieben. Ebenso bestimmte er***) die all- 

 gemeine Form der Systeme, deren Grad Je = 2 ist. ^i—t'' 



Mau kann endlich gewisse allgemeine Sätze über die Structur der 

 Zahlensysteme aufstellen. In dieser Richtung sind die Arbeiten von 

 Scheff'ers (1889) und Molien (1892) f) zu nennen. Auf diese Unter- 

 suchungen kommen wir im nächsten Paragraphen zurück. 



Wir haben in diesem Werke alle linearen homogenen Gruppen in 

 2 und 3 Veränderlichen bestimmt und wollen sie nunmehr benutzen, 

 um alle Zahlensysteme in 2 und 3 Einheiten daraus abzuleiten. Diese 

 Berechnung kommt, wie wir wissen, im Wesentlichen darauf zurück, 

 vermöge einer passenden linearen homogenen Transformatioo neue 

 Veränderliche in die betreffenden Gruppen einzuführen. 



Zunächst bestimmen wir die Systeme in zivei EinJieiten. Systeme 



*'' 111 zwei 



Wir haben aus der Schar aller Typen von linearen homogenen Einheiten. 

 Gruppen in zwei Veränderlichen x^, x.^ die einfach transitiven heraus- 

 zugreifen. In Theorem 16, § 4 des 5. Kap., sind alle jene Typen auf- 

 gestellt. Da wir wissen, dass die in Frage kommenden Gruppen in 

 x^, x^ (wegen der Existenz des Moduls £ im Systeme) die infinitesi- 

 male Transformation x^%\ -\- X2P2 enthalten müssen, so kommen von 

 jenen Typen nur die dort mit 4) und 5) bezeichneten in betracht: 



I) x^p^ x^pi + x.^ix^, 

 11) XiPi x^p^. 



*) Gott. Nachr. a. a. 0. S. 262. 



**) Zurückfuhrung complexer Zahlensysteme auf typische Formen. Math. 

 Ann. 39, S. 335 ff. 



***) Ebenda S. 342 ff. 

 f) Über Systeme höherer complexer Zahlen. Math. Ann. 41, S. 83 — 156. 



