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648 Kapitel 21, § 4. 



Es treten in den endlichen Gleichungen beider Gruppen die Para- 

 meter linear auf. Um dies zu sehen, haben wir nur nach der an die 

 Spitze dieses Paragraphen gestellten Bemerkung von Lie die end- 

 lichen Gleichungen zu bilden. Sie würden, wenn y^ und ij^ die Para- 

 meter bedeuten, bei der Gruppe I) diese sein müssen: 



x^ =x^y^, x^ = ^1 ^1 + x^y^ . 



Man verificiert sofort, dass dies die endlichen Gleichungen von I) sind. 

 Entsprechend sind 



die von II). Zu I) und II) gehören daher wirklich Zahlensysteme 

 und zwar, da beide Gruppen aus vertauschbaren Transformationen be- 

 stehen, also die reciproken Gruppen mi^; ihnen selbst zusammenfallen, 

 Systeme, in denen die Multiplication insbesondere commutativ ist. 



um die Systeme selbst zu erhalten, führen wir vermöge einer 

 Imearen homogenen Transformation neue Veränderliche j^, j^ ein in 

 der Art, wie es in § 3 in Formel (26) oder {2ß') geschah.' Wir ver- 

 stehen also unter x,', < zwei Constanten und setzen bei der ersten 

 Gruppe 



Insbesondere können wir, ohne die Auflösbarkeit dieser Gleichungen 

 zu zerstören, x,' = 1, x,' = wählen. Dann aber kommt einfach 



^1 = hf ^2 = El- 



Die Gruppe lautet in den neuen Veränderlichen, wenn wir diese wieder 

 statt mit Ji, 52 mit x^, x^ bezeichnen: 



x;=x^y^ -\-x,y^, 



OOn OCii 



Aus unserer allgemeinen Theorie folgt, dass diese Gruppe mit den 

 Parametern y„ y^ ihre eigene Parametergruppe ist. Wir überlassen 

 dem Leser, dies durch successive Ausführung zweier Transformationen 

 der Gruppe zu verificieren. Die Multiplicationsregeln des zugehörigen 

 Zahlensystems ergeben sich nun, wie zum Schluss des § 3 auseinander- 

 gesetzt wurde: Der Wert von e,e, geht danach hervor, wenn wir den 

 Coefficienten von a;,y, in der ersten Gleichung mit e„ in der zweiten 

 mit e^ multiplicieren und sie <]ann addieren. So erhalten wir un- 

 mittelbar: 



«1^1 = 0, e,e^==e^, e^e^ =- e^, e^e^ = e.,. 



Man kann verificieren, dass dies System dem associativen Gesetz 

 (e,e^)e,. = e,(e^e,.) genüge leistet. Z. B. ist: 



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