650 Kapitel 21, § 4. 



Dieses System hat dieselben Multiplicationsregeln wie das System der 

 gewöhnlich complexen Zahlen a -\- ßi, wenn man in ihnen 1 und i 

 als Einheiten auffasst. (Vgl. das Beispiel in § 1.) 



^Td^i Wir kommen zur Bestimmung aller Zahlensysteme in drei Ein- 



Einheiten. /^gj^^^ 



In § 3 des 19. Kap. sind alle linearen homogenen Gruppen in 

 drei Veränderlichen aufgestellt worden. Von diesen kommen nur die 

 einfach transitiven in betracht. Da wir ferner wissen, dass das Zahlen- 

 system einen Modul s besitzt, so muss das System insbesondere 

 U^XiPi + x^p.^ -\- x^p^ enthalten, denn dies ist das Symbol der in- 

 finitesimalen Transformation x = x{e -f dt). Demnach haben wir aus 

 jener Zusammenstellung in § 3 des 19. Kap. nur die transitiven Typen 

 unter VII auszuwählen, die U enthalten. Dies sind die folgenden : 



1) XsP2 x^p, + x^p., x^pi + x^p^-^ x^p^, 



2) x^P2 x^Pi + X2P2 ^iPi + X2P2 + '^sA, 



3) Xip.^ Xi2h + XsP2 ^iPi + X2P2 + ^aPs, 



4) x.^p2 ax^p^ -I- hx^p., x^p^ + x.,p., + x^p^, . 



5) X^p^ X^p^ X^p^ + ^2^2 + x^Pa, 



6) x^p^ x^p^ x^p^, 



7) x^p^ + x^p^ x^p.^ — x^p^ x^p^ 4- x^ p^ + ^3 P3 • 



Aber es kommen von diesen nur die Typen in betracht, deren end- 

 liche Gleichungen die Parameter linear und homogen enthalten. Da- 

 nach ist z. B. 2) nicht brauchbar. Denn wenn die Gruppe 2) in ihren 

 endlichen Gleichungen die Parameter linear enthielte, so müssteu sich 

 diese endlichen Gleichungen nach der oben vorausgeschickten Be- 

 merkung so schreiben lassen: 



^/= ^32/2 +^1^3. 



<=^3«/l + ^2^2 + ^2^3» 

 ^3 "^^ ^32/3» 



wobei unter y^, y^, y^ die Parameter verstanden sein sollen. Aber 

 diese Gleichungen stellen, wie man sofort verificieren kann, gar keine 

 Gruppe dar. Derselbe Misserfolg ergiebt sich bei 3) und 7). Die 

 Gruppe 4) ist, wie man analog sieht, nur dann zulässig, wenn ^ = 

 oder aber 6 = a ist. Alle anderen Gruppen liefern Systeme. Es 

 kommen also, wenn wir die Gruppen etwas anders ordnen, nur diese 

 5 Typen in betracht: 



