Beispiele von Zahlensystemen. 651 



I) x^Pi x^p.^ x^p, + x.^p^ + a^gpg, 



II) x^p., x^p^ + x^p^ x,p, -\-x.,p.,-\- x^v^, 



III) x^p., x^p, + x^p., x^pi -j- x^p^-\- x.^p.„ 



IV) 0:3^2 x^p^ x,p^ + x^p.^ + x^Pz, 

 V) x^p^ x^p., x^p^. 



Von diesen 5 Gruppen bestehen alle mit Ausnahme von III) aus 

 vertauschbaren Transformationen. Es giebt also in drei Einheiten 

 vier commutative und ein nicht- commutatives Zahlensystem. 



Zu ihrer Bestimmung verfahren wir genau so wie oben bei zwei 

 Einheiten. Wir lesen zunächst sofort die endlichen Gleichungen der 

 Gruppen ab und führen dann passende neue Veränderliche ein. 



So liefert I) die endlichen Gleichungen: ^"'" 



^ ö Fall. 



a?3 = x^y^. 



Diese Gruppe hat schon die Form der Gruppe eines Zahlensystems. 

 Man kann dies einmal direct einsehen, indem man zwei Transforma- 

 tionen nach einander ausführt und die Parameter der äquivalenten 

 Transformation berechnet. Es ergiebt sich aber auch, wenn man die 

 neuen Veränderlichen j:^, jg, £3 einführt, indem man die Hülfsgrössen 

 V = ^2*^ = 0, x.f = l wählt, denn dann kommt x^ =^ i^, x., = i^ 

 ^3 = h- Das Product e.Ci. ist nun sofort abzulesen, wie früher. Man 

 multipliciert die rechten Seiten der Gleichungen mit e^, e^, e.., addiert 

 sie dann und wählt den Factor von Xij/k aus. So kommt: 



616^ = 6.^61=6^, 626^ = 6^62 = 6^, 

 ^S^ä """^ ^3 



oder die Tafel; 

 (I) 



I 1 2 3 



10 e, 



2 I 62 



3 6, e„ en 



Beim Typus II) kommt das System zweiter 



FaU. 



(11) 



