Beispiele von Zahlensystemen. 



Form haben, so kann man in dem neuen System e^ 

 «3 -f- e.j, als 63 benutzen, wodurch sich ergiebt: 



3 



653 



^2 als e^ und 



(iir) 



e., 



Der Typus IV) giebt zunächst die Tafel: 



"Vierter 

 Fall. 



Wenn man aber e^ mit e^ vertauscht und e^ — e^ als 63 benutzt, so 

 kommt die vorteilhaftere Form: 



(IV) 



210 

 3 lo 



2_ 











Endlich liefert Typus V) sofort: 



1 2 



Fünfter 

 Fall. 



(V) 







3 e. 



Damit sind alle Zahlensysteme in drei Einheiten gefunden. Nur 

 der dritte Typus ist nicht commutativ. Zu ihm gehören also zwei 

 verschiedene Gruppen aus nicht sämtlich vertauschbaren Transforma- 

 tionen. Da aber oben nur eine solche Gruppe, die Gruppe III), auf- 

 trat, so folgern wir: Die beiden zu einander reciproken Gruppen, die 

 zum System (HI) gehören, gehen durch eine gewisse lineare homogene 

 Transformation in einander über. Anders ausgedrückt: Das dritte 

 System 



kann dadurch in das dazu reciproke 



