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verwandelt werden, dass man geeignete neue Einheiten einführt. In 

 der That, wenn man e^ mit e^ vertauscht, so geht aus dem System 

 das reciproke hervor. 



Von den Systemen in vier Einheiten wollen wir nur eines er- 

 wähnen, nämlich das unter mehreren Gesichtspunkten überhaupt in- 

 Hamiiton's tercssantcstc Zahlensystem, das System der Hamilton' sehen Quaternionen. 

 uiüuen. Wii. wissen, dass eine viergliedrige Gruppe entweder integrabel ist 



oder aber auf die besondere Zusammensetzung gebracht werden kann: 



(Vgl. Satz 11, § 3 des 20. Kap.) Man kann zeigen, worauf wir aber 

 nicht eingehen, dass in vier Veränderlichen alle einfach transitiven 

 linearen homogenen Gruppen von dieser Zusammensetzung, deren reci- 

 proke Gruppen auch linear homogen sind, mit einander vermöge einer 

 ebenfalls linearen homogenen Transformation ähnlich sind, also das- 

 selbe Zahlensystem liefern. Dies ist das Hamilton'sche System. Um 

 es aufzustellen, wird es also genügen, ein Paar zu einander reci- 

 proker linearer homogener Gruppen in a^j, X2, x^, x^ aufzusuchen, das 

 die obige Zusammensetzung besitzt. Ein solches Paar liefert uns nun 

 folgende Betrachtung: 

 ^Gr^^r ^^^ suchen alle infinitesimalen projectiven Transformationen des 



einer ^'läLiiejR^^^^^gg (^{q g^^g Flüche zweiten Grades in Buhe lassen, und lösen damit 

 ein an sich interessantes Problem der Gruppentheorie. Bekanntlich 

 kann man stets solche homogene Coordinaten x^, x^, x^, x^ einführen, 

 dass die Fläche zweiten Grades (die kein Kegel sein oder zerfallen 

 soll) die Gleichung erhält: 



^1^ -f- x,^ -\- x^ -\- xl = {). 



Eine infinitesimale projective Transformation des Raumes hat die all- 

 gemeine Form 



^f=^^CCik 



XkPi 



(vgl. § 4 des 19. Kap.). Sie lässt die Fläche zweiten Grades in-" 

 variant, wenn 



