oder 



oder endlich 



Beispiele von Zahlensystemen. 655 



X(x,' + X,' + X,' + X,') 



^XiXxi 



^aii^XkXi 

 1 



i 



vermöge der Gleichung der Fläche verschwindet. Da dieser Ausdruck 

 homogen vom zweiten Grade ist, so kann dies nur so zugehen, dass 

 identisch 



4 



^2 a,,x,x, = Q ix;' + xi + x^ + xi) 

 1 



wird. Dies liefert: 



«a- + «Ä, = für i=^^i, «,/ = q 

 {i, k= l, 2, 3, 4). 



Jede infinitesimale projective Transformation, welche die Fläche in 

 Ruhe lässt, ist also linear aus den folgenden ableitbar: 



XiPk — XkPi (i, /c = 1, 2, 3, 4; i 4= A-), 



^il\ + ^2^2 + x^p^ + ^^4^4. 



Diese erzeugen natürlich eine Gruppe. Sie ist in den homogenen 

 Veränderlichen siebengliedrig. Nicht homogen geschrieben, wäre sie 

 sechsgliedrig. 



Nun bemerken wir: Die vier infinitesimalen Transformationen 



(^2i>3 — ^zPi) — (^ii?4 — x^p^) 

 {x^Pi — x^p^) — {x^p^ — x^p^) 



(^iP% — ^2Pi) — (x^Pi — x^ps) 



^iPl + ^2^2 + %P3 + ^4^4, 



die jener Gruppe der Fläche zweiten Grades angehören, bilden für sich 

 eine Gruppe, wie man sofort verificiert. Ebenso die vier: 



i^2P3 — XsP^) + (X^p^ — X^Pi) 



(p^sPi — XiPs) + {x^p^ — x^p^) 

 i^ilh — x^Pi) + {x^p^ — x^p^) 



^iPl + ^2i^2 4- X^p^ -j- X^p^. 



