656 • Kapitel 21, §§ 4, 5. 



Beide Gruppen sind in x^, x^, x^, x^^ einfach transitiv und zu einander 

 reciprok, denn jede infinitesimale Transformation der einen ist mit 

 jeder der andern vertauschbar. Auch lässt sich die Zusammensetzung 

 der Gruppen leicht auf die oben angegebene Form bringen. Wenn 

 wir also von diesem Gruppenpaar ausgehen, so werden wir zum System 

 der Quaternionen gelangen. 



Die endlichen Gleichungen der ersten unserer beiden viergliedrigen 

 Gruppen lauten nach unserer allgemeinen Regel, wenn y^, y^, y^, y^ 

 die Parameter der Gruppe bezeichnen, so: 



•^1 ""= ~r ^iVi ~r ^3^2 ^22/3 ~r ^iVij 



X^= — ^iVl + ^4^2 + ^l2/3 + ^22/4, 

 ^3'= + ^2^1 — ^1^2 + «4«/3 + ^3?/4, 



x^= ^iVi ^2^2 ^3^/3 "T ^42/4- 



Wählen wir die Hülfsgrössen x^ = x^ = x^ = ^ , x^ = \ , so 

 sehen wir, dass die neuen Veränderlichen j so angenommen werden 

 können, dass 



^\ h\i **'2 — C2; '*'3 — c3) ■*'4 — C4 



wird. Also liegt die Gruppe schon in solcher Form vor, dass die 

 Parameter der Transformation, die der Aufeinanderfolge zweier Trans- 

 formationen der Gruppe äquivalent ist, sich durch die beiden einzelnen 

 Parametersysteme gerade so ausdrücken, wie die neuen Veränderlichen 

 durch die alten Veränderlichen und die Parameter. Wir können dem- 

 nach auch das zugehörige Zahlensystem sofort ablesen. Es ist, wie 

 immer, 6,6^ der Coefficient von XiX^ in dem Ausdruck Ex,'es. Wir 

 finden somit das System: 



Tafel der 112 3 4 



Quater- ! 



nionen. 1 



2 

 3 

 4 



Dies ist das System der Hamilton' sehen Quaternionen. Wenn man 

 darin — e^, — e^^ -~ h ^'^ neue Einheiten einführt, so geht das reci-| 

 proke System hervor. 



Wie man sieht, hängt das System der Quaternionen auf das 

 engste mit der projectiven Gruppe einer Fläche zweiten Grades zu- 

 sammen. 



64 63 63 ^1 



64 Cj ^2 



