Referate über einige neuere Arbeiten über complexe Zahlen. 657 



§ 5. Referate über einige neuere Arbeiten über complexe Zahlen. 



In diesem Paragraphen gedenken wir über mehrere Ergebnisse 

 auf dem Gebiete der complexen Zahlen in der Hauptsache nur re- 

 ferierend zu berichten, insbesondere über die Arbeiten von Scheffers*). 



Lie hat die w-gliedrigen Gruppen, wie wir in § 5 des 19. Kap.^JJ^*^^^^]'^^^'' 

 bemerkten, in integrahele und nicht- integrdbele Gruppen eingeteilt. Eine ^°*^srabeie 

 integrabele ist dadurch charakterisiert, dass sie eine (w — l)-gliedrige 

 invariante Untergruppe, diese eine (n — 2)-gliedrige invariante Unter- 

 gruppe u. s. w. enthält. Ist nun die eine der beiden zu einem Zahlen- 

 system (e^ . . Cr) gehörigen Gruppen integrabel, so ist es auch die 

 andere, da beide dieselbe Zusammensetzung haben. Ausserdem sind 

 sie lineare homogene Gruppen. Nach Satz 19, § 4 des 19. Kap., lassen 

 sie daher im Räume {x^ . . Xn) einen Punkt, eine durch ihn gehende 

 Gerade, eine durch letztere gehende zweifach ausgedehnte ebene 

 Mannigfaltigkeit u. s. w. invariant, und zwar sind diese Gebilde bei 

 beiden zu einander reciprokeu Gruppen dieselben , da die beiden 

 Gruppen nach Theorem 30, § 2 des 17. Kap., mit einander vermöge 

 einer leicht angebbaren Transformation ähnlich sind. 



Wir können es nun so einrichten, dass der einzeln invariante 

 Punkt die Coordinaten 1, 0..0 hat, ferner dass auf der durch ihn 

 gehenden invarianten Geraden der Punkt mit den Coordinaten 0, 1 . . 

 liegt u. s. w. Dies lässt sich immer durch lineare homogene Trans- 

 formation erreichen. Der invariante Punkt soll die Einheit e^, die 

 invariante Gerade die aus den Einheiten e^ und e^ linear ableitbaren 

 Zahlen u. s. w. repräsentieren. Hiernach ist jetzt 



e^ek = Const. e^, Cke^ = Const. e^; 

 e^Ck == Const. gj -\- Const. gg? ^ke.^ = Const. e^ -|- Const. «2 



u. s. w. 



Schreiben wir also die Producte eißk so, wie es im vorigen Para- 

 graphen geschah, in einer Tafel zusammen, so folgt: 



Die zu integrahelen Gruppen gehörigen Zahlensysteme können auf 

 die Form gebracht werden: 



*) Zurückfuhrung complexer Zahlensysteme auf typische Formen. Math. 

 Ann. 39 (1891), S. 293 — 390. Daselbst findet mau zum Schlosse eine Übersicht 

 über die neuere Litteratur. 



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