658 Kapitel 21, § 6. 



112 3 . . n 



(1) (1) (0 ■ • (1) 



(1) (12) (12) . . (12) 

 (1) (12) (123) . . (123) 



n (1) (12) (123) • . (12 •■w). 

 Hierbei soll (12 . . m) allgemein einen Ausdruck von der Form 



Const. e^ -\- Const. e^ -\- " -\- Const. e^ 

 bedeuten. 



Ist dagegen die eine Gruppe des Zahlensystems nicht -integrabel, 

 so ist es auch die andere nicht. Engel*) hat nun den Satz auf- 

 gestellt, dass eine nicht-integrabele Gruppe stets eine dreigliedrige 

 Untergruppe X^f^ X^f, X^f von der besonderen Zusammensetzung 



{X,X,) = X,f, iX,X,) = XJ, {X,X,) = X,f 

 besitzt. Überträgt man dies auf unsere Zahlensysteme, so kann man 

 einsehen: Die zu nicht- integrabelen Gruppen gehörigen Zahlensysteme 

 enthalten unter anderen drei vom Modul unabhängige Einheiten 

 Ci, e^, 63, für die 



«2^3 — ^3^2 = 2^1, eggj — 6^63 = 2^2, 6162 — 62^1 = 2^3 

 ist. Umgekehrt gehört jedes solche System zu nicht - integrabelen 

 Gruppen. Ein solches System enthält mindestens 4 Einheiten. 



Diese Einteilung der Zahlensysteme wurde von Scheffers seinen 

 Untersuchungen zu Grunde gelegt. Er nennt die letzteren, zu nicht- 

 '^^yltemir"'"*®^^^^^^^" Gruppen gehörigen Systeme Quaternionsysteme, die ersteren 

 Nichtquaternionsysteme und zwar deshalb, weil zu den Quaternion- 

 systemen als einfachstes System das der Hamilton'schen Quaternionen 

 gehört. 



qu2lrnl"on- Zuuächst ist CS nuu für die Berechnung der Nichtquaternion- 



systeme gysteme von wesentlicher Bedeutung, dass man jedes derartige System 

 in n Einheiten auf eines in nur w — 1 Einheiten zurückführen kann, 

 indem man nämlich einfach e^ streicht und in allen Producten eißk das 

 . Glied mit e^ fortlässt. Das neue System ist wieder ein Nichtquater- 

 nionsystem. Umgekehrt kann man von jedem Nichtquaternionsystem 

 in n Einheiten zu solchen in w + 1 Einheiten gelangen, allerdings 



*) Kleinere Beiträge zur Gruppentheorie, Leipz. Ber. 1887, S. 96. Einen 

 exacten Beweis dafür hat er in den Leipz. Ber. 1893, S. 360-369 gegeben. 



