Referate über einige neuere Arbeiten über complexe Zahlen. 659 



nicht immer nur zu einem. Dies Princip der Zurückfuhrung der Systeme 

 in n Einheiten auf solche in n — l Einheiten dient den Untersuchungen, 

 über die wir hier referieren, als eine wesentliche Grundlage. 



Für die Structur eines Nichtquaterniousystems wird folgender für 

 die Praxis äusserst nützliche Satz abgeleitet: 



Man Jconn die Einheiten eines Nichtquaternionsystems stets so wählen, 

 dass sie in ztvei Beihen e^ ..er, n^.. rjs (r + s = n) zerfallen von den 

 besonderen Eigenschaften: Es ist 



Vi^ = Vi} ViV/c = für i 4= k, 

 ferner drückt sich e^e^ linear nur durch die vor d bez. e^. kommenden 

 Einheiten aus, sodass 



fi^k = CkC^ = 0, 



e^ßi- = Const.e^, Cke^ = Const. e^, 



e^Ck = Consicj + Const.e,,, CkC^ = Constej + Const. gg 



u. s. w. ist. Ferner ist für jedes ei unter allen Producten 'rj^d und Citik 

 nur je eines, etwa rjaC, und eiriß, vorhanden, das nicht Null ist, sondern 

 den Wert d hat. Endlich ist in jedem System mindestens ein r] enthalten. 



Sagen wir, die Einheit e,- sei vom Charakter (ccß), weil ^„e,- und 

 Citj^ nicht Null, sondern e,- sind, so folgt ohne Mühe aus dem associa- 

 tiven Gesetze, dass das Product 6,6^ zweier Einheiten e, und e^. vom 

 Charakter (aß) bez. (yd) Null ist, sobald ß -^ y ist, dass es sich aber, 

 sobald ß = y ist, durch die vor e,- und e^ kommenden Einheiten aus- 

 drückt, die vom Charakter (ad) sind. Noch ist zu bemerken, dass 

 die Einheiten rj^. . rj^ in ihrer Art einzig im Systeme, dass sie also 

 für das System von typischer Bedeutung sind. 



Hiernach lassen sich z. B. die Zahlensysteme in zwei und drei 

 Einheiten sofort aus dem Kopfe hinschreiben. 



Ferner ergeben sich hieraus gewisse Klassen von Systemen ohne * 

 weiteres. Man bemerkt nämlich zunächst, dass die (reducierte) charak- char. gi. 



I • • 1 /^T • ^ r 1 T einea Nicht- 



teristische brletchung eines derartigen Nichtquaternionsystems die Form hat:iiiaterniou- 



systeras. 



(x — li£>"'(^ — M"' . • (ä; " I,,«)'"' = 0. 

 Hierin bedeutet x eine allgemeine Zahl des Systems: 



X = Xie^ -{- {- XrCr + li ^i + ' ' + t^V^ 



und Ij, I2 • • ^« sind die gewöhnlich complexen Coefficienten der Ein- 

 heiten Yj^. . r]s in dieser Zahl, s bedeutet den Modul des Systems, der 

 übrigens die Form hat: 



£ = Vi + n2-i f- v^, 



42* 



