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Kapitel 21, § 5. 



und ^1 , (i2 • • fi^s sind nicht verschwindende positive ganze Zahlen, deren 



Summe f*i + ftg H \- t^s den Grad Je des Zahlensystems vorstellt. 



Wir zeigen, wie man nun ohne weiteres gewisse Klassen von 

 Systemen bestimmen kann, an einem Beispiel: Weierstrass suchte 

 die commutativen Systeme, in denen der Grad k = n, der Anzahl der 

 Einheiten ist, und bei denen die charakteristische Gleichung n ver- 

 schiedene Wurzeln hat. Ein commutatives System ist aber stets Nicht- 

 quaternionsystem. Wir haben also hier, um die Weierstrass'schen 



Systeme aufzustellen, ^^ = ^, = • . = ^t, = 1 und ft^ + ^g -| 1- /*. = 



= ]i = n = r -\- s anzunehmen. Es ist daher r = 0, s = n, d. h. ein 

 derartiges System enthält nur Einheiten 7?i . . r?„ und hat daher die 

 Form: 



nt^ = rii, ViVk = für i 4= h, 



oder als Tafel geschrieben: 



Wie man sieht, ergeben sich die Weierstrass'schen Systeme als 

 die einfachsten überhaupt existierenden. 



Um unser Referat fortzusetzen, führen wir nun den wichtigen Be- 

 Reducibii. griff der Beducibüität ein : 



eines " ^ 



Systems. Ein Systcm heisst reducibel, wenn seine Einheiten sich so wählen 



und in zwei Scharen e^, e^ . . . und e^, Cg . . . einreihen lassen, dass 

 jedes eitk und t^a Null ist und e^, e^ . . . für sich, ebenso e,, e^ . . . für 

 sich ein System bilden, also e^e^ sich durch e^, e^ . . . allein und e,e^ 

 sich durch e,, 63... allein linear ausdrücken lässt. So z. B. ist das 

 oben, in § 4, gefundene System [e^, e^, e^) in drei Einheiten: 



ßi 

 62 

 e, 63 



reducibel auf die beiden Systeme {e,) und (e^, e^). Scheffers hat 

 für die Reducibilität eines Systems folgendes Kriterium angegeben und 

 bewiesen : 



Kriterium . 



derReducib. JLm bysUm ist dann und nur dann reducibel, wenn es ausser dem 



