Referate über einige neuere Arbeiten über complexe Zahlen. 661 



Modul e eine Zahl e^ im System gieht, die mit allen Zahlen x des 

 Systems veiiauschhar (xs^ = e^a;) und deren Quadrat fj^ == «i ist. 



Z. B. ist ein commutatives System auf so viele einzelne Systeme 

 reducibel, als es in ihm von einander unabhängige Zahlen giebt, deren 

 Quadrate ihnen selbst gleich sind. 



Man kann umgekehrt aus zwei Systemen (e^. . ep), {ep^i . . e,) ein 

 System (^'i-e^) zusammensetzen, indem man ihre Tafeln so aneinander- 

 reiht, dass ihre Hauptdiagonalen eine Gerade bilden, und dann die leer 

 gebliebenen Rechtecke an allen Stellen mit Nullen ausfüllt. Man kann 

 dieses neue System schicklich die Summe der beiden ursprünglichen ^^^^^^^^^"^ 

 Systeme nennen, weil dieser Summationsprocess alle Gesetze der ele- Systeme. 

 mentaren Addition erfüllt. Study und Seh e ff er s haben bewiesen, 

 dass die charakteristische Gleichung eines Systems gleich dem Product 

 der charakteristischen Gleichungen der einzelneu Systeme ist, auf die 

 es reduciert werden kann. 



Man kann auch Zahlensysteme mit einander multipliciereu. Be- 

 trachtet man nämlich zwei Systeme, etwa (e^ . . e^) und {t^ . . e,), so 

 kann man die Voraussetzung treffen, dass 6,6* == ^kei sei, und alsdann 

 ß/Ci als Einheit Tjik eines Systems von p . q Einheiten tji,, rj^^ • ■ Vpq ^^^' 

 führen. Die Productregeln sind dann in diesem neuen System völlig 

 bestimmt, denn es ist nach Voraussetzung 



naVirn = {.ei^k){eiC,n) = (eiei)(tkCni)- 

 CiCi ist linear aus e^ . . Cp und tktm linear aus Cj . . e, zusammensetzbar. 

 Ausmultiplication giebt t^/A^^to linear durch alle 7?„^ ausgedrückt. Dies 

 Verfahren kann das der Midtiplication der urspriinglichen Systeme, das^i^itip^^i^at. 

 neue System das Product der beiden gegebenen Systeme genannt Systeme. 

 werden. Der Process erfüllt nämlich alle Gesetze der elementaren 

 Multiplicatiou, auch bezüglich des oben definierten Additionsprocesses. 

 Zum Product zweier Systeme kann man auch so gelangen: Ge- 

 setzt, man betrachtet in der allgemeinen Zahl 



X = x^e^ + . . -\- x.ep 



des Systems {e^ . . ep) die Coefficienten x^ . . Xp nicht mehr als gewöhn- 

 liche Zahlen, sondern als Zahlen eines zweiten Systems (ei.-e,): 



so ist X eine Zahl des Systems mit den p . q Einheiten rjn, = 6,6*. 



Mau kann nun ohne Mühe zu dem folgenden zuerst von Study |*^"j.^yj« 

 aufgestellten Ergebnis gelangen : Jedes Zahlensystem, dessen Grad gleich k = n. 

 der Anzahl der Einheiten ist, setzt sich aus irreducibelen Systemen 



