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Kapitel 21, § 5. 



derselben Art zusammen. Jedes irreducibele derartige System {e^..en) 

 kann so geschrieben werden, dass 



diCk = e,_|-A._„ oder 

 ist, je nachdem ^ + yfc > w oder < n ist. 



So hat man in 2, 3, 4 Einheiten folgende irreducibele Systeme: 



1 



In drei Einheiten kommen als einzige reducihele derartige Systeme nur 

 die beiden in betracht: 



3 



Systeme 

 k = n— 1 . 



Scheffers hat, wie schon erwähnt, alle Systeme bestimmt, deren 



Grad um Eins Meiner als die Zahl der Einheiten ist: l=n 1. Da 



aber die Formen dieser Systeme noch mannigfaltiger als die der vor- 

 stehenden Systeme sind, so sehen wir von einer Wiedergabe des betreffen- 



^ Systeme^ den Satzes ab. Ebenso bezüglich der Sijsteme, deren Grad k = n — 2 

 ist. Übrigens giebt es kein Quaternionsystem, dessen Grad Jc = n — 1 

 wäre. Jedes Quaternionsystem, dessen Grad k = n — 2 ist, ist die 

 Summe aus dem System der Hamilton'schen Quaternionen und einem 

 der soeben erwähnten Study'schen Systeme. 



Auch die Form aller Systeme, deren Grad k = 2 ist, lässt sich an- 

 geben. Das einzige Quaternionsystem, das hierher gehört, sind die 

 Quaternionen Hamilton's. 



Da bei einem Systeme in fünf Einheiten der Grad yt = 2, 3, 4, 5 



Eixxheiten. ^Iso wcgcn w == 5 der Grad k = 2, n — 2, n — 1, n ist, so ist' es' 

 klar, dass mit obigen allgemeinen Resultaten auch alle Zahlensysteme 

 in fünf Einheiten gefunden sind. 



Für die Quaternionsysteme wird bewiesen, dass ein solches System, 

 sobald es nicht mehr als acht Einheiten besitzt, das System der Hamil- 

 ton'schen Quaternionen in sich enthält. Alsdann liefern .gewisse allge- 

 meine Tafeln für die Systeme, welche die Quaternionen enthalten, 

 Tafeln, die hier wiederzugeben zu weit führen würde, alle Quaternion- 

 systeme in 4, 5, 6, 7, 8 Einheiten. Ferner ergiebt sich ein merkwürdiger 



Systeme 

 k = 2. 



Systeme 

 in fünf 



Quaternion 

 Systeme. 



