Referate über einige neuere Arbeiten über complexe Zahlen. 663 



Satz: Jedes Zahlensystem nämlich, das in sich die Quaternionen Hamil- 

 tons enthält, und hei dem der Modul dieser Quaternionen zugleich Modul 

 des ganzen Systems ist, ist das Product aus einem beliebigen System und 

 dem System der Hamilton' selten Quaternionen. 



Kurz sei noch der Abhandlung Molien's gedacht. 



Da die w-gliedrige Gruppe eines Zahlensystems (e^ . . e„) ^efnfacher' 



(''-i)-gi- 



inv. Untergr . 



X, =^^YiksOCiyk (s = 1, 2 . . w) 

 1 



eine {n — l)-gliedrige invariante Untergruppe enthält, nämlich die 

 aller ihrer Transformationen mit der Determinante Eins, also eine 

 Untergruppe, die der speciellen linearen homogenen Gruppe angehört, 

 so liegt es nahe, nach allen Zahlensystemen zu fragen, bei denen diese 

 {n — l)-gliedrige invariante Untergruppe selbst einfach ist. Auf dieses 

 Problem lenkte L i e seinerzeit ausdrücklich die Aufmerksamkeit *). 

 Molien**) behandelte dieses Problem und kam zu dem interessanten, 

 wenn auch negativen Resultat, dass es keine anderen derartigen 

 Zahlensysteme giebt, als die schon von englischen Mathematikern be- 

 handelten, deren Gruppe die Parametergruppe der allgemeinen linearen 

 homogenen Gruppe ist, also die Gruppe: 



'^ij =^ ^kjijik (i, j ^ 1, 2 . . w). 



1 



Das zu dieser Gruppe gehörige System hat n^ Einheiten dk mit den 

 Productregeln : 



ekj^ik = eij, ekjCii = für h^l. 



w = 2 giebt das System der Quaternionen, allerdings in einer anderen 

 Gestalt, als wir es oben fanden, nämlich, wenn wir die Einheiten 

 ßj,, 6^2, e^y, ^22 ^^ ^1} ^2» %7 ^i bezeichnen, in der Form: 



w == 3 liefert ein früher von Sylvester***) behandeltes und von ihm 

 Nomonen genanntes System mit ganz analoger Tafel in 9 Einheiten. Nomonen. 



*) Leipziger Berichte 1889, S. 326. 



**) Über Systeme höherer complexer Zahlen. Math. Ann. 41, S. 83 — 156. 

 ***) Z. B. A Word on Nomons. Johns Hopkins Circular 1882 II, S. 241. 



