Abteilung YI. 

 Einige Anwendungen der Crruppentheorie. 



Es macht sich in neuerer Zeit mehr und mehr die Auffassung 

 geltend, dass viele Gebiete der Mathematik nichts anderes als In- 

 Variantentheorien gewisser Gruppen sind. 



Von vornherein ist es übrigens keineswegs sicher, dass jede 

 Gruppe ihre Invariantentheorie besitzt. Es ist aber eine wichtige 

 Entdeckung Lie's, dass jede (continuierliche) Gruppe, die durch 

 Differentialgleichungen definiert ist, nicht allein Differentialiuvarianten, 

 sondern überhaupt eine vollständige Invariantentheorie besitzt. Es 

 lassen sich nämlich, um dies deutlicher auszudrücken, Kriterien in end- 

 licher Anzahl für die Äquivalenz zweier Gebilde gegenüber den be- 

 treffenden Gruppen angeben, d. h. dafür, dass es möglich werde, das 

 eine Gebilde vermöge einer Transformation einer solchen Gruppe in 

 das andere überzuführen. 



Zur Erläuterung dieser hier etwas vag ausgedrückten Behauptung 

 geben wir in dieser letzten Abteilung einige Beispiele, indem wir das 

 Äquivalenzproblem bei der Gruppe der Bewegungen in der Ebene und 

 im Räume behandeln. Es ist merkwürdig, doch aber sicher, dass man 

 bisher versäumt hat, dieses einfache Problem rationell anzugreifen. 

 Indem wir im Folgenden eine vollständige Lösung dieses Problems 

 geben, glauben wir eine bedeutende Lücke in der analytischen Geo- 

 metrie, insbesondere in der Lehre vom Imaginären in der Geometrie 

 auszufüllen. Andererseits können und sollen diese Theorien hier als 

 Beispiel dafür dienen, wie man überhaupt Invariantentheorien ge- 

 gebener Gruppen entwickeln sollte. 



Ein zweites Beispiel liefert uns in dieser Hinsicht die Invarianten- 

 theorie der binären Formen, die wir alsdann in ihren Hauptzügen 

 darstellen. 



Daran schliessen wir eine Reihe allgemeiner Bemerkungen über 

 die Invariantentheorien von Gruppen überhaupt und über das volle 

 Formensystem bei gegebener Gruppe. 



