666 Kapitel 22, § 1. 



Endlich werden wir die Gruppentheorie auf die Theorie der 

 Differentialgleichungen anwenden, indem wir einige interessante Pro- 

 bleme daraus herausgreifen, die sich auf Systeme von Differentialglei- 

 chungen mit Fundamentallösungen und insbesondere auf die Riccati'sche 

 Differentialgleichung beziehen. 



In allen diesen Anwendungen ist es unser Hauptzweck, zu zeigen, 

 wie die Verwertung gruppentheoretischer Betrachtungen neue wertvolle' 

 Bahnen der Untersuchung eröffnet. 



Kapitel 22. 



DifFerentialinvarianteii der Beweguiigs^rnppe, Vervollstäiidiguiig der 

 bisherigen Krümmungstheorie. 



In diesem Kapitel entwickeln wir eine Invariantentheorie für die 

 Gruppe der Bewegungen in der Ebene wie im Räume. Wir zeigen 

 nämlich, wie man in theoretisch einfachster Weise entscheidet, ob 

 zwei Curven oder Flächen durch Bewegung in einander überführbar, 

 d. h. ob sie congruent sind oder, noch anders ausgedrückt, ob sie mit 

 einander vermöge der Gruppe der Bewegungen äquivalent sind. 



Dies Problem lässt sich nicht ohne weiteres damit erledigen, dass 

 man sagt, zwei Gebilde seien congruent, wenn sie bei geeigneter Wahl 

 der Cartesischen Coordinaten dieselben Gleichungen besitzen. Mit 

 dieser Bemerkung nämlich ist das Problem nur erst gestellt, nicht ge- 

 löst. Es handelt sich darum, von allen willkürlichen Elementen freie 

 und sowohl notwendige als auch hinreichende Congruenzkriterien zu 

 entwickeln. Die Gruppe der Bewegungen in der Ebene wie im Räume 

 kann bekanntlich definiert werden als die continuierliche Gruppe aller 

 Punkttransformationen, die alle Figuren in congruente überführen. 

 Deshalb ist die Theorie der Congruenz bei ebenen wie bei Raum- 

 curven und bei Flächen nichts anderes als die Invariantentheorie der 

 Gruppe der Bewegungen. Wir werden sehen, dass man, um voll- 

 ständige Convergenzkriterien aufzustellen, in der Ebene mit dem Be- 

 griffe des Krümmungsradius r und des Differentialquotienten ~ nach 

 der Bogenlänge s auskommt, bei den Curven im Räume tritt im all- 

 gemeinen nur noch die Torsion r hinzu. Im allgemeinen wird sich 

 als Aquivalenzkriterium ergeben, dass zwei Curven congruent sind, 

 sobald sich — und t bei beiden in derselben Weise als Functionen 



