Invariantentheorie der Gruppe der Bewegungen in der Ebene. 667 



von r ausdrücken. Aber für gewisse Curven ergeben sich besondere 

 Theorien. Wir werden sehen, wie man methodisch zu allen diesen 

 Ausnahmen geführt wird und wie man sie erledigen kann. Die ana- 

 loge Theorie für die Flächen entwickeln wir in ihren Hauptzügen. 



In der Anschaulichkeit des BegriflFes der Congruenz bei reellen 

 Gebilden mag es liegen, dass man — obwohl mit Unrecht — das in 

 Frage stehende Problem bisher, wie es scheint, nicht explicite zu for- 

 mulieren für nötig befunden hat. Um so mehr aber muss betont 

 werden, dass die anschaulichen Hülfsmittel nicht ausnahmslos anwend- 

 bar sind, nämlich nicht bei den imaginären Gebilden, bei denen bis 

 jetzt sogar die notwendigen Grundbegriffe für die Erledigung des Con- 

 gruenzproblems fehlen. Hat man doch bisher noch nie die Frage auf- 

 geworfen, wann zwei imaginäre Curven oder zwei imaginäre Flächen 

 einander congruent sind. Aber auch für reelle Gebilde ist die Theorie 

 bisher noch nirgends in völlig befriedigender Weise in Angriff ge- 

 nommen und durchgeführt worden. Ebenso sicher, wie es ist, dass 

 man bisher das Material zu einer solchen Theorie schon zum grossen 

 Teil gewonnen hat, ebenso sicher ist es, dass die genaue Frobiera- 

 stellung sowie umsomehr die Theorie selbst noch fehlt. 



Die Untersuchungen über imaginäre Gebilde lassen sich übrigens 

 — obgleich sie an sich wichtig genug sind — auch für reelle Gebilde 

 nutzbringend verwerten, so namentlich für die Minimalflächen und die 

 Richtungscurven und Richtungs- oder Doppelflächen. 



Practisch lehrreich ist dies Kapitel in Hinsicht auf die Gruppen- 

 theorie deshalb, weil die hier zu benutzenden Betrachtungen auch 

 sonst überall da zum Ziele führen, wo es sich darum handelt, für eine 

 beliebige durch Differentialgleichungen definierte Gruppe die Aquiva- 

 lenzkriterien zweier Gebilde aufzustellen. Wir kommen auf diese all- 

 gemeinen Gesichtspunkte im nächsten Kapitel zurück. 



§ 1. Invariantentheorie der Gruppe der Bewegungen in der Ebene. 



Wir haben den Begriff „Differentialinvariante" schon im erstenDifferentiai- 

 Abschnitte dieses Werkes eingeführt und namentlich bei Gruppen in "'^^ 

 zwei Veränderlichen genauer studiert — siehe 9. und 12. Kap. Da- 

 mals dachten wir uns eine r-gliedrige Gruppe in x, y vorgelegt, er- 

 weiterten sie durch Hinzunahme der Transformationen, welche die 

 Differentialquotienten y, y" . . . von y nach x bei der Gruppe erfahren, 

 und fassten die Functionen von x, y, y, y". . . ins Auge, die bei der 

 erweiterten Gruppe invariant bleiben. Wir erkannten, dass unter diesen 



