668 Kapitel 22, § 1. 



Differentialinvarianten nur eine, Jr-i, vorhanden ist, die von niederer 

 als r^^^ Ordnung ist, d. h. die nur x, y, y. .«/<'— i) enthält, und dass 

 eine Differentialiuvariante Jr von r*«', eine J^+i von (r -f- l)*"' Ord- 

 nung vorhanden ist, u. s. w., sodass die allgemeinste Differential- 

 invariante (r + s)*" Ordnung eine beliebige Function von Jr-t, Jr, 

 Jr+i . . Jr+s ist. Auch Sahen wir, dass man setzen darf: 



(1) . Jr+s = 



d'Jr^l d'J, 



dx' 



An diese Ergebnisse erinnern wir, weil wir uns von jetzt ab mit 

 der Invariantentheorie der Gruppe der Bewegungen in der Ebene ge- 

 nauer beschäftigen wollen. 



"in"'d« ^' ^^6 Gruppe der Bewegungen in der Ebene lautet bekanntlich 



Gruppe der 

 Bewoggn. • P Q. yP — OCq. 



Ihre Differentialinvarianten haben wir schon in einer Note zu § 3 des 

 4. Kap. kurz besprochen. Wir kommen jetzt ausführlicher darauf 

 zurück. 



Zu ihrer Auffindung haben wir die infinitesimalen Transforma- 

 tionen der Gruppe um die Incremente der Differentialquotienten 

 y, ij". . . von y nach x zu erweitern und die Lösungen der vollstän- 

 digen Systeme zu bestimmen, die durch Nullsetzen der erweiterten 

 infinitesimalen Transformationen hervorgehen. Nach den Vorbemer- 

 kungen muss nun eine Differentialinvariante von höchstens zweiter 

 und eine von dritter Ordnung vorhanden sein. Kennen wir diese 

 beiden, so ergeben sich alle anderen nach (1) durch Differentiation. 

 Wir erweitern daher bis zu den Incrementen von y". Es lassen 

 und q die Differentialquotienten y, y" , y" ungeändert. Die gesuchter 

 Differentialinvarianten sind daher frei von x und y. Ferner giebj 

 yf — xq erweitert 



yp-^(i~{^-\- y'')q- ^y'y'q"- W + ^yy"h'"- 



Hierin bezeichnet q den Differentialquotienten — > u. s. w. Ist f ein( 



Differentialinvariante von höchstens dritter Ordnung, so muss sie 

 diesen Ausdruck zu Null machen. Also ist sie ein von x, y freies 

 Integral des simultanen Systems 



dy' dy" dy" 



Als ein Integral ergiebt sich sofort 



