In Variante ntheorie der Gruppe der Bewegungen in der Ebene. 669 



(1 + y'f- 



3 



Wenn wir dann ij"~ Const. (1 + y'^y^ einsetzen, so ergiebt sich eine 

 lineare Differentialgleichung für y" und aus ihr als ein zweites 

 Integral : 



sy'y"''-y"' {i + y'^ 

 (1 + y'r 



Diese Differentialinvarianten sind gebildet worden unter der Voraus- 

 setzung, dass y eine Function von x ist, geometrisch ausgedrückt, dass 

 wir eine Curve ins Auge fassen. Nun sehen wir, dass die erste In- 

 variante bei einer vorgelegten Curve die Krümmung -, den reciproken 



Wert des Krümmungsradius r, vorstellt. Statt ihrer können wir natür- 

 lich auch r selbst als Invariante benutzen. Bedeutet ferner s die 

 Bogenlänge der Curve, gemessen von irgend einer Stelle aus, so ist 



während wegen 

 andererseits : 



ds 

 d 



1 ^ (1 + f^f^ 



(1 + 2/'^)^- 



y 



2 dr 



y"' Tx = 3^'^"'(i + y'T - y'"(i + y'Y 



ist Deshalb ist die Differentialinvariante dritter Ordnung der Di/feren- 

 tialquotient des Krümmungsradius nach der Bogenlänge: ~, multipliciert 

 mit r^. Also ist j-^ selbst Differentialinvariante dritter Ordnung. 



Nach der vorausgeschickten Bemerkung ergeben sich nun aus r 

 lind ^ alle übrigen Differentialinvarianten durch Differentiation. So 



eine von vierter Ordnung: 



-.dr 

 ds 



dr 

 oder 



dy 

 ds^ 

 dr 

 ds 



Da ^ selbst Invariante ist, so können wir ~ als Differential- 

 invariante vierter Ordnung benutzen. Mitsprechend ist ^'3 Differential- 

 invariante fünfter Ordnung u. s. w. 



