670 Kapitel 22, § 1. 



Allgemein also hat eine Differentialinvariante die Form*) 



Slfr '^'' ^ ^l..:\. 

 V' ds' ds-' ds^ 7 



Eine ganz besondere Stellung nehmen gewisse Ausdrücke ein, die 

 uns gestatten, aus bekannten Ditferentialinvarianten der Gruppe neue 

 Differentialinvarianten abzuleiten. Angenommen nämlich, es existiere 

 eine Function il(x, y, y . ., cp, cp', cp".) von x, y, den Differential- 

 quotienten von y nach x, sowie einer Function cp und ihren Differen- 

 tialquotienten (p, cp". . . derartig, dass, wenn qo irgend eine Differential- 

 invariante der Gruppe ist, stets auch ii eine solche ist. Dabei sollen 

 cp', cp". . . die vollständigen Differentialquotienten von cp nach x be- 

 deuten. Wenn wir alsdann diese Function Sl kennten sowie eine 

 Differentialinvariante, so lieferte uns Sl eine zweite Differential- 

 invariante. Diese würde in Si für cp eingesetzt eine dritte ergeben u. s. w. 

 So könnte man unter Umständen aus einer Differentialinvariante eine 

 ganze Reihe solcher ableiten. Dass wirklich bei unserer Gruppe der- 

 artige Ausdrücke Si vorhanden sind, werden wir sehen, indem wir sie 

 "^^^^^^';^^*'^^'- aufstellen. Wir nennen sie Bifferentialparameter. 



Für ihre Auffindung ist eine allgemeine Formel von grosser Be- 

 deutung, die wir factisch schon früher abgeleitet haben, wenn auch 

 nicht gerade in der zu benutzenden Form. Es sei nämlich q) irgend 

 eine Function von x, y, y , y" . . ., die wir als eine Function von x 

 allein auffassen können, da wir uns ja y als Function von x vorstellen. 

 Bezeichnen wir nun mit dem Zeichen d die Incremente bei einer in- 

 finitesimalen Transformation der Gruppe, so ist wegen 



dq) EE. cp dx 

 auch 



6dcp EB 6cp' ■ dx -{- cp ■ ddx 



oder, da d und d vertauschbare Zeichen sind: 



ddq>'^8cp • dx -\- cp • ddx, 

 also 



/n\ s. r dScp , ddx 



^^) ^"P^-d^-^ dx- 



Dies ist die Formel, die wir ableiten wollten. Sie zeigt, wie man das 

 Increment des Differentialquotienten einer Function cp aus dem Incre 

 ment von g) und dem von x ableiten kann. Dabei sind die Differen- 

 tiationen nach X stets totale. Indem wir z. B. in § 3 des 2. Kap., 



*) Auch die Bogenlänge s iai invariant, aber sie ist keine Differential- 

 invariante. Man könnte sie eine Integralinvariante nennen. In unserer Äquiva- 

 lenztheorie brauchen wir nur Difi'erentialinvarianten. 



