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Tnvariantentheorie der Gruppe der Bewegungen in der Ebene. 671 



S. 36, das Increment von y berechneten, haben wir in Wahrheit auch 

 schon die Relation (2) abgeleitet. 



Wir suchen nun zunächst einen Differentialparameter, der keine 

 höheren als den ersten Differentialquotienten von (p enthält, also die 

 Form hat: U{x, y, y . ., qp, (p'). Da cp hierin irgend eine Invariante 

 bedeuten soll, so ist in (2) das Increment dg? = zu setzen, sodass 

 kommt: 



Jg. / / ddx 



^^--^ da.' 



Bei p ist dx = dt, also d(p'=0. Ebenso ist d(p'=0 bei q. Bei 

 yp — xq ist dx == ydt, also 



dq)' = — cp'y dt. 

 Nun ist allgemein 



Es soll dSi bei unserer Gruppe Null sein, sobald d(p = ist, und 

 zwar für jede infinitesimale Transformation der Gruppe. Dies liefert 

 die drei Relationen: 



Sl ist also frei von x und y und Integral des simultanen Systems: 

 f^\ dy' ^ dj/' ^^ '1?^ __ ^^' 



1+2/'' -^y'y" '" ö ~ inp ' 

 Als Integrale sind uns schon p ^, • • bekannt. Ferner ist ein Inte- 

 gral <p selbst. Ein letztes Integral geht aus 



dy ' dcp' 



1 + y'* ~~ ¥9' 



hervor in der Form 



(1 + y"^)i 



Der gesuchte Differentialparameter hat also die Form 



Es ist aber von vornherein klar: Wenn (p ein Differentialparameter 

 ist, so ist auch jede Function von r, f^, ~, ... und 9) ein Differen- 

 tialparameter. Mithin werden wir uns ohne Beeinträchtigung der 



