Invariantentheorie der Gruppe der Bewegungen in der Ebene. 673 



Wir bemerken noch, dass sich z/qp auch so schreiben lässt: 



also der allgemeinste Differentialparameter so: 



_ / dr d'^r ^ dcp d^cp \ 



Nehmen wir an, wir kennten nur die niederste Differential- 

 invariante r und den niedersten Differentialparameter zl(p. Alsdann 

 sind damit alle Differentialinvarianten gegeben. Denn wenn wir z/g) 



auf (p=^r anwenden, so geht die Differentialinvariante ^ hervor. 



Wenden wir z/qo auf 9) = %- an, so geht entsprechend ^ hervor u. s. w. 



Es sind r und ziep Lösungen des vollständigen Systems 



1^ = 0, ?^' = 0, 



ex ' oy 



Zur Auffindung aller Differentialinvarianten hätte es also genügt, nur 

 eine einmalige Erweiterung vorzunehmen und das Increment von (p' für 

 ^gj = hinzumfiigm. Eine ähnliche Bemerkung gilt überhaupt für 

 Gruppen. Die grosse Bedeutung des Differentialparameters tritt hier 

 klar hervor. 



Die Differentialinvarianten und Differentialparameter der betrach- cougruenz 



"■ ebener 



teten Gruppe spielen eine wesentliche Rolle in der Theorie der ebenen curven. 

 Curven. Denn die Frage, wann zwei Curven mit einander congruent 

 sind, kommt darauf zurück, wann sie durch eine Bewegung in ein- 

 ander überführbar sind. Da die obigen Differentialinvarianten eben 

 bei den Bewegungen invariant sind, so ist klar, dass zwei Curven nur 

 dann congruent sind, wenn in entsprechenden Punkten beider die 

 Differentialinvarianten dieselben Werte haben. Da aber von vorn- 

 herein die einander entsprechenden Punkte nicht bekannt sind, so 



gehen wir so vor: Längs der einen Curve ändert sich r sowie ^• 



Es ist also ■T- eine Function von r: 

 ds 



(4) r« = '»('-)• 



Ebenso längs der zweiten Curve. Sollen sie congruent sein, so muss 

 also dieselbe Relation (4) für die zweite Curve bestehen. Dies ist 

 aber auch hinreichend für die Congruenz, sobald wir voraussetzen, dass 



L i e , Continuierliche Gruppen. 4o 



