Minimal- 

 geraden. 



674 Kapitel 22, §§ 1, 2. 



die Curven nicht Bahncurven einer eingliedrigen Untergruppe der 

 Gruppe der Bewegungen, also weder Kreise noch Geraden, sind. Denn 

 sobald dies nicht der Fall ist, geht die eine Curve bei unserer Gruppe 

 in genau oo^ verschiedene Curven über (vgl. Satz 7, § 1 des 12. Kap.). 

 Für alle diese Curven muss die Relation (4) bestehen. Andererseits 

 ist (4) eine DiflFerentialgleichung dritter Ordnung in x, y und definiert 

 daher gerade oo^ verschiedene Curven. Die Relation (4) besteht daher 

 sicher und nur für die Curven, die mit der gegebenen ersten con- 

 gruent sind. 



Wenn dagegen die beiden betrachteten Curven Bahncurven sind, 

 so gehen sie bei der Gruppe in nur cx>^ Lagen über und die obigen 

 Schlüsse sind hinfällig. Aber hier erledigt sich die Sache sofort: Die 

 betreffenden Curven sind Kreise oder Geraden, deren Congruenz- 

 kriterien trivial sind. Nur die Geraden, die nach den imaginären 

 Kreispunkten gehen, die Minimalgeraden: 



y -^ix ^ Const. 



sind hierbei besonders zu besprechen. Die Geraden jeder dieser beiden 

 Scharen sind nur unter sich congruent, da die Gruppe der Bewegungen 

 die Kreispunkte in Ruhe lässt, sodass also jede Minimalgerade zwei in- 

 finitesimale Bewegungen gestattet. Es ist also nicht exact, wenn man 

 zuweilen sagt, dass zwei Geraden stets mit einander congruent sind. 

 Der Ausnahmefall der Minimalgeraden tritt in unserer Invarianten- 

 theorie insofern in Evidenz, als für ihn die Differentialinvarianten 



1 dr 



~, ^ • • • ihre Bedeutung verlieren, indem \ -\- y^ = wird. Doch 



verzichten wir hier darauf, zu zeigen, wie diese Ausnahmefälle natur- 

 gemäss aus unserer Theorie heraus entwickelt werden können und sich 

 zugleich als die einzigen ergeben. Wir thun dies vielmehr in dem 

 nächsten Problem, bei der Betrachtung der Curven im Räume, weil 

 dort die Sachlage nicht von vornherein so einfach ist wie hier. 



§ 2. Differentialinvarianten der Eaumcurven bei der Gruppe der 



BewegTingen. 



^Bew^ n^*^ ^^^ wenden uns also jetzt zur Gruppe aller Bewegungen im 



Baume. Raumc {x, y, z). Wir haben zwar diese Gruppe bisher nicht ein- 

 gehender besprochen, doch ist sie leicht analog der Gruppe der Be- 

 wegungen in der Ebene (§ 3 des 4. Kap.) abzuleiten. Man findet, 

 dass sie aus allen Translationen und Rotationen besteht, also die \ 

 Form hat: 



JP ä! ^ yp — ^2 ^2 — y*" ^11' — ^i>- 



im 



