Differentialinvarianten der Ranmcurven bei der Gruppe der Bewegungen. 675 



Zwei Gebilde sind cougruent, wenn sie vermöge einer Transformation 

 dieser Gruppe in einander übergehen. 



Wir suchen zunächst wieder Diöerentialinvarianten dieser Gruppe. 

 Da wir Anwendungen auf die Curventheovie im Räume machen wollen, 

 so haben wir uns vorzustellen, dass zwischen den Coordinaten x, y, z 

 zwei Relationen bestehen. Es ist am übersichtlichsten, x, y, z als 

 Functionen einer Hülfsgrösse l aufzufassen, von der vorausgesetzt 

 wird, dass sie sich bei der Gruppe nicht ändert, und dementsprechendi^rwoitorung 



T j , ,, (lur Gruppe, 



die Incremente von ^--, ^, — , ^^ u. s. w. zu berechnen. Es kommt 



dies im Grunde genommen einfach darauf hinaus, dass wir die Incre- 

 mente der Differentiale dx, dy, dz, d^x . . . in den Bereich der Be- 

 trachtung ziehen. Durch Benutzung der Hülfsveränderlichen A wird 

 nur das Rechnen mit Differentialen vermieden. 



Bei der Berechnung der Incremente machen wir davon Ge- 

 brauch, dass 



^ dcp ddcp 



dl dl 



ist. Demnach lauten die erweiterten infinitesimalen Transformationen 

 wenn die Differentiation nach A durch den Acceut angedeutet wird 

 und p für j~ , p" für Ä u. s, w. steht *) : 



p q r 



yp — xq -\- y'p —- xq-\- yp'— x'q"-{- ■ ■ ■ 



zq — yr -j- z'q — yr + z" q — y" r" -\ 



xr — zp -{- x'r — z'p -j- x' r" — z' p' -\- ■ -. 

 Wir suchen nun Bifferentialinvarianten, d. h, Functionen fix, v, z i'iffe^^oütiai- 



r f r ff ,r ,, ^ .. I \ } i/' 'invarianten. 



^) y 7 ^) ^ , y , ^ • • •), die zunächst bei diesen erweiterten infinitesi- 

 malen Transformationen invariant bleiben. Offenbar sind sie frei von 

 X, y, z. Es handelt sich dann noch um die Integration des voll- 

 ständigen Systems: 



yp — xq-\- y'p"— x"q"-\ = 0, 



(5) z'q — ijr'-\-z'q— y" r" ^ =0, 



x'r — z'p -j- x"r" — z"p" -f- • • • = 0. 



Berücksichtigt man nur die ersten Differentialquotienten, so hat man 

 ein zweigliedriges vollständiges System vor sich mit der einen Lösung 



ic"^ -\- y"^ -f z"^. 



*) Wir wollen nicht unterlassen, darauf aufmerksam zu machen, dass die 

 folgenden Betrachtungen sich ohne Mühe auf die Gruppe der Bewegungen in 

 Räumen von höherer Dimensionenzahl verallgemeinern lassen. 



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