676 Kapitel 22, § 2. 



Nimmt man auch die zweiten Differentialquotienten hinzu, so erhält 

 man ein dreigliedriges vollständiges System in sechs Veränderlichen. 

 Es besitzt also drei Lösungen, darunter die obige. Zwei von jener 

 unabhängige sind offenbar: 



xx-\-yy-\-zz^ x ^ -\- y ^ -\- z ^. 



Überhaupt sieht man: Der Ausdruck 



(6) 03« E^ ic(') i(;(*) + «/('■) ^(*) + z^^ ^W 



ist eine Lösung des vollständigen Systems (5). Nehmen wir alle 

 Differentialquotienten bis zu den w*®° mit, so liegt ein dreigliedriges 

 vollständiges System in 3w Veränderlichen vor. Es hat also 3 m — 3 

 von einander unabhängige Lösungen. Solche aber sind folgende Aus- 

 drücke föjfc: 



(7) 



0^15; «25 



Dass sie von einander unabhängig sind, sieht man sofort. 



Aber diese Differentialinvarianten können wir nicht sämtlich ver- 

 werten. Denn wenn wir die Bedingungen für die Überführbarkeit von 

 Curven in einander aufstellen wollen, so haben wir zu bedenken, dass 

 Von der eiuc Curvc sich nicht ändert, wenn man die Hülfsveränderliche l durch 



Hülfs- ... . 



veränderi. eine beliebige Function von A ersetzt. Wir dürfen daher nur solche 



unabhängige , . 



Differential- Differentialinvarianten benutzen, die sich nicht ändern, wenn A irgend 



invarianten. . .^i • . .... 



eine Transformation, also auch insbesondere irgend eine infinitesimale 

 Transformation 



81 = a{l)8t 



erfährt. Es wäre demnach unsere Aufgabe, aus den 2w — 3 Func- 

 tionen (7) alle die Functionen zu bilden, die ungeändert bleiben bei 

 der infinitesimalen Transformation 



(8) dÄ; = 0, dy=^0, dz = 0, dk = a{l)dt, 



welchen Wert auch die Function a{X) haben mag. Wir werden aber 

 später gar nicht alle Functionen jener cna gebrauchen, die bei (8) in- 

 variant sind, sondern kommen — wie sich zeigen wird — mit den 

 sechs ersten a),A allein aus, also mit 



